1周して囲んだ面積が、エンジンの仕事P-V線図と仕事

バイクのエンジンの中で、何が起きている？

125 cc のバイクは、小さなエンジン1つで、人を乗せて走ります。エンジンの中では、ピストンが1分に何千回も上下しています。

ピストンの上の、閉じた筒（シリンダ）の中には、空気と燃料が入っています。この中の圧力を、センサで1サイクル分記録します。横軸に体積、縦軸に圧力をとって点を打つと、線は1周して、元の点に戻ってきます。

この単元のエンジンは、排気量 125 cc・圧縮比 10 です。101 kPa・27℃ の空気を吸い込み、燃えると温度が 1778 K 上がるとします（燃焼のくわしい計算はしない、理想のサイクル）。

図の点は、そのときのシリンダの中の状態です。右へ動くとふくらみ、左へ動くと押し縮められ、上へ動くと圧力が上がります。

この線から、エンジンが1サイクルで出す仕事を読み取れます。断熱変化の単元では、押し縮める仕事を「線の下の面積」で見ました。1周する線では、どの面積が仕事になるでしょうか。

予想してから読むP-V 線図で1周して戻る線。1サイクルで取り出せる仕事は、どの面積？

Aふくらむときの線の下の面積（178 J）B1周して囲んだ面積（125 J）Cいちばん高い圧力 × 排気量（約 1,065 J）

4つの行程を、線図でたどる

4ストロークのエンジンは、ピストンが2往復する間に、4つの行程を1回ずつ行います。ピストンの位置とクランクの角度の関係は、機構学の ピストンクランク機構 の単元で扱いました。

吸気と排気は、同じ横の線を行って帰ります。囲む面積は 0 なので、この2つの行程は、仕事の勘定に入りません。仕事を出すのは、圧縮と膨張の2つの行程です。

公式はこれ

1サイクルの仕事 $\spvW$ は、ふくらんで出す仕事から、押し縮める仕事を引いたものです。P-V 線図では、1周して囲んだ面積です。

$$\spvW = \spvWe - \spvWc = \oint p\,dV$$

$178 - 53.0 = 125\ \mathrm{J}$ です。膨張の線は、圧縮の線より高いところを通ります。燃えて熱くなった気体は、同じ体積でも強く押し返すからです。

家計簿で読む

熱と仕事（第一法則） の単元で、エネルギーの勘定を家計簿にたとえました。

1周して元の状態に戻ると、気体の温度も元どおりです。中にためた分（内部エネルギーの増え）は 0 です。だから、入ってきた熱は、全部が外へ出ていきます。出口は2つ、仕事と、排気が持ち去る熱です。

$$\underbrace{\spvQin}_{\text{入れた熱}} = \underbrace{\spvW}_{\text{仕事（囲んだ面積）}} + \underbrace{\spvQout}_{\text{捨てた熱}}$$

この単元のエンジンでは、燃えて入る熱が 207.7 J、排気が持ち去る熱が 82.7 J です。差の $207.7 - 82.7 = 125.0\ \mathrm{J}$ が仕事で、線図の面積と同じになります。入れた熱のうち、どれだけが仕事になるかは、オットーサイクル（ガソリンエンジン） の単元で扱います。

同じ面積の長方形の高さ ＝ 平均有効圧

囲んだ形はいびつで、面積が読みにくい。そこで、同じ面積の長方形に置きかえます。横幅は、ピストンが動いて変わる体積（排気量）$\spvVs$ にそろえます。

$$\spvPm = \dfrac{\spvW}{\spvVs}$$

この長方形の高さ $\spvPm$ を平均有効圧といいます。ピストンを、この一定の圧力で1行程だけ押したのと同じ仕事になる、という意味です。

単位に注目します。MPa は $10^6\ \mathrm{Pa}$、cc は $10^{-6}\ \mathrm{m^3}$ です。かけると $10^6 \times 10^{-6} = 1$ で、MPa × cc は、そのまま J になります。

$$\spvW = \spvPm\,\spvVs = 1.0\ \mathrm{MPa} \times 125\ \mathrm{cc} = 125\ \mathrm{J}$$

排気量が2倍のエンジンは、同じ押し方でも仕事が2倍です。仕事を排気量で割った平均有効圧は、エンジンの大きさによりません。1 cc あたり、どれだけ強く押せるかを表す数です。

毎秒何サイクル？ 出力を出す

出力は、1秒あたりの仕事です。1サイクルの仕事に、1秒あたりのサイクルの回数をかけます。

4ストロークのエンジンは、2回転で1サイクルです。6000 min⁻¹ は、1秒に $6000 \div 60 = 100$ 回転です。サイクルは、その半分の 50 回です。

$$\spvPow = \spvW \times \dfrac{\spvNe}{2 \times 60} = 125\ \mathrm{J} \times 50\ \text{回/s} = 6250\ \mathrm{W} = 6.25\ \mathrm{kW}$$

公式を、かたまりに分けて読む

上の2つの式をまとめると、出力は3つのかたまりのかけ算になります。

$$\spvPow = \underbrace{\spvPm}_{\text{押す強さ}} \times \underbrace{\spvVs}_{\text{エンジンの大きさ}} \times \underbrace{\dfrac{\spvNe}{120}}_{\text{1秒のサイクルの回数}}$$

1. 押す強さ $\spvPm$　燃料をよく燃やすほど、膨張の線が高くなり、囲んだ面積が増えます。
2. エンジンの大きさ $\spvVs$　排気量が大きいほど、1サイクルで吸い込む空気が多く、仕事が大きくなります。
3. 1秒のサイクルの回数 $\spvNe/120$　速く回すほど、1秒に繰り返す回数が増えます。1サイクルの仕事は変わりません。

どの数字がいちばん効く？

初期値（125 cc・6000 min⁻¹・燃えて上がる温度 1778 K）から、1つずつ10%変えたときの変化です。

出力には、どれも同じ割合で効きます。違いは、平均有効圧が動くかどうかです。平均有効圧を上げられるのは、燃やし方だけです。大きさや回転数を変えても、平均有効圧は変わりません。

実物のエンジンに戻る

ホンダのスーパーカブ C125（2021年の新しいエンジン）の諸元は、排気量 123 cm³・圧縮比 10.0・最大トルク 10 N·m（6,250 min⁻¹）です。

トルクから、1サイクルの仕事を出せます。仕事は、トルク × 回った角度です。1サイクルでクランクは2回転、角度にして $4\pi$ ラジアン回ります。

$$\spvW = 10\ \mathrm{N\cdot m} \times 4\pi = 126\ \mathrm{J}, \qquad \spvPm = \dfrac{126\ \mathrm{J}}{123\ \mathrm{cc}} = 1.02\ \mathrm{MPa}$$

この単元の例の 1.0 MPa は、実物のエンジンに近い値です。最高出力 7.2 kW（7,500 min⁻¹）のときは、1サイクル 115 J・平均有効圧 0.937 MPa で、トルクがいちばん大きいときより少し低くなります。

動かしてみよう

「動かす」を押すと、クランクが回り、ピストンが上下します。動きは実物の 1/200 の速さです。右の P-V 線図では、赤い点が線の上を1周します。

膨張の行程に入ると、膨張の線と圧縮の線の間が、点の進みにつれて紫に塗られていきます。塗り終わった形が、1サイクルの仕事です。破線の長方形は、同じ面積で高さが平均有効圧のものです。

燃えて上がる温度 $\spvDT$ を小さくすると、線図が低くなり、面積が減ります。回転数 $\spvNe$ を変えると、線図はそのままで、出力だけが変わります。

薄い破線は、比べる相手（初期値か、「いまの図を残して比べる」で残した図）の1周です。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1燃えて上がる温度 ΔT を 0 にして（燃料を燃やさない）、線図の行きと帰りの線を見る（まだ）
2. 2排気量 Vs を 2倍の 250 cc にして、仕事と平均有効圧の両方を見る（まだ）
3. 3回転数 N を半分の 3000 min⁻¹ にして、出力を見る（まだ）

ΔT燃えて上がる温度−K＋

Vs排気量（ピストンが動いて変わる体積）−cc＋

Nエンジンの回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめからふつうふつうゆっくりゆっくりとてもゆっくりとてもゆっくりt = 0.00 s

いまの図を残して比べる1サイクルの仕事（囲んだ面積）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{P} = \htmlClass{q-moment}{W} \times \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{N}}{2 \times 60}$$$$= 125\ \mathrm{J} \times \dfrac{6{,}000}{120}\ \mathrm{/s}$$$$= 6.25\ \mathrm{kW}$$

1サイクルの仕事（囲んだ面積）

$\htmlClass{q-moment}{W} = 125\ \mathrm{J}$

出力

$\htmlClass{q-moment}{P} = 6.25\ \mathrm{kW}$

平均有効圧

$\htmlClass{q-stress}{p_m} = 1\ \mathrm{MPa}$

1秒あたりのサイクルの回数

$\htmlClass{q-geometry}{f} = 50\ \text{回/s}$

ほかの値（5 個）

ふくらんで出す仕事（気体がする）

$\htmlClass{q-moment}{W_{\text{膨張}}} = 178\ \mathrm{J}$

押し縮める仕事（気体がされる）

$\htmlClass{q-moment}{W_{\text{圧縮}}} = 53\ \mathrm{J}$

入れた熱（燃えた分）

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}} = 207.7\ \mathrm{J}$

捨てた熱（排気が持ち去る分）

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{出}}} = 82.7\ \mathrm{J}$

燃えた直後の圧力（いちばん高い）

$\htmlClass{q-stress}{p_3} = 8.52\ \mathrm{MPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. すき間の体積（上死点で残る体積。圧縮比 10 から）

   $$\htmlClass{q-displacement}{V_c} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{V_s}}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon} - 1} = \dfrac{125\ \mathrm{cc}}{10 - 1} = 13.89\ \mathrm{cc}$$

2. 押し縮めた後の圧力（断熱、pV^κ が一定）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_2} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa}} = 101\ \mathrm{kPa} \times 10^{\,1.4} = 2.54\ \mathrm{MPa}$$

3. 燃えた直後の圧力（体積はそのままで、絶対温度に比例して上がる）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_3} = \htmlClass{q-stress}{p_2}\,\dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_2} + \htmlClass{q-heat}{\Delta T}}{\htmlClass{q-heat}{T_2}} = 2.537\ \mathrm{MPa} \times \dfrac{753.9 + 1{,}778}{753.9} = 8.52\ \mathrm{MPa}$$

4. 押し縮める仕事（圧縮の線の下の面積）

   $$\htmlClass{q-moment}{W_{\text{圧縮}}} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_2}\,\htmlClass{q-displacement}{V_c} - \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1} = \dfrac{35.24 - 14.03}{0.4}\ \mathrm{J} = 53\ \mathrm{J}$$

5. ふくらんで出す仕事（膨張の線の下の面積）

   $$\htmlClass{q-moment}{W_{\text{膨張}}} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_3}\,\htmlClass{q-displacement}{V_c} - \htmlClass{q-stress}{p_4}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1} = \dfrac{118.3 - 47.11}{0.4}\ \mathrm{J} = 178\ \mathrm{J}$$

6. 1サイクルの仕事（1周して囲んだ面積）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-moment}{W_{\text{膨張}}} - \htmlClass{q-moment}{W_{\text{圧縮}}} = 178.1 - 53.02 = 125\ \mathrm{J}$$

7. 平均有効圧（同じ面積の長方形の高さ）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_m} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{W}}{\htmlClass{q-displacement}{V_s}} = \dfrac{125\ \mathrm{J}}{1.25\times 10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 1\ \mathrm{MPa}$$

8. 出力（1サイクルの仕事 × 1秒あたりのサイクルの回数。2回転で1サイクル）

   $$\htmlClass{q-moment}{P} = \htmlClass{q-moment}{W} \times \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{N}}{2 \times 60} = 125\ \mathrm{J} \times \dfrac{6{,}000}{120}\ \mathrm{/s} = 6.25\ \mathrm{kW}$$

よくある勘違い

「ふくらむときの線の下の面積が、全部仕事になる」

ふくらむときに出す 178 J のうち、53.0 J は、次のサイクルで押し縮めるのに使います。外へ取り出せるのは、差の 125 J だけです。

「平均有効圧は、シリンダの中の圧力の平均」

違います。シリンダの中の圧力は、0.101 MPa から 8.52 MPa まで大きく変わります。平均有効圧は、仕事を排気量で割った「長方形の高さ」です。吸気と排気の行程も含めた、時間の平均の圧力とは別の数です。

「回転数を2倍にすると、1サイクルの仕事も2倍になる」

1サイクルの仕事は、線図の形で決まります。回転数を2倍にして増えるのは、1秒に繰り返す回数です。出力は2倍になりますが、1サイクルの仕事 125 J はそのままです。

この公式が使える条件

• 囲んだ面積 ＝ 仕事 は、どんなエンジンでも使える（線図がいびつでも、実際に記録した線でもよい）
• 平均有効圧の式は、4ストロークでは2回転で1サイクル、として出力に直す（2ストロークなら1回転で1サイクル）
• この単元の盤は、理想のサイクル：空気だけ・比熱比 1.4 一定、燃えるのは上死点の一瞬、弁の開け閉めも一瞬、熱は壁から逃げない
• 実物では、燃えるのに時間がかかり、熱も壁へ逃げるので、線図の角が丸くなり、面積は理想より小さくなる

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

1周の仕事：ピストンがわずかに動いて体積が $dV$ 変わると、気体が外にする仕事は $p\,dV$ です。ふくらむとき（$dV > 0$）は正、押し縮められるとき（$dV < 0$）は負です。1周足し合わせると、

$$\oint p\,dV = \underbrace{\int_{\text{膨張}} p\,dV}_{\spvWe} + \underbrace{\int_{\text{圧縮}} p\,dV}_{-\spvWc} + \underbrace{\int_{\text{吸気}} p_1\,dV + \int_{\text{排気}} p_1\,dV}_{0}$$

吸気と排気は、同じ圧力 $\sntPOne$ で、同じ体積を行って帰るので、打ち消し合います。残るのは $\spvWe - \spvWc$ で、膨張の線と圧縮の線にはさまれた面積です。

圧縮と膨張の仕事：断熱変化の単元の式 $(p_a V_a - p_b V_b)/(\sntKappa - 1)$ を使います。圧縮は $(\sntPTwo \spvVc - \sntPOne \sntVOne)/0.4 = 53.0\ \mathrm{J}$、膨張は $(\spvPThree \spvVc - \spvPFour \sntVOne)/0.4 = 178\ \mathrm{J}$ です（$\spvVc = 13.9\ \mathrm{cc}$、$\sntVOne = 138.9\ \mathrm{cc}$）。

単位：$1\ \mathrm{MPa} \times 1\ \mathrm{cc} = 10^6\ \mathrm{N/m^2} \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3} = 1\ \mathrm{N\cdot m} = 1\ \mathrm{J}$。

出力：1秒の回転数は $\spvNe/60$、4ストロークは2回転で1サイクルなので、1秒のサイクルの回数は $\spvNe/120$。出力は $\spvPow = \spvPm \spvVs \spvNe/120$ です。

トルクとの関係：1サイクルでクランクは $4\pi$ ラジアン回るので、平均のトルク $T$ とは $\spvW = 4\pi T$ の関係です。125 J なら $T = 125/(4\pi) = 9.95\ \mathrm{N\cdot m}$。