同じ力でも、細い棒ほど苦しい応力とひずみ

同じ力なのに、細い消しゴムだけがちぎれそうになる

消しゴムを 2 本用意します。太い消しゴムと、細く切った消しゴムです。

両方を、同じ力で、両側から引っぱります。細い消しゴムだけが、真ん中からくびれて、ちぎれそうになります。

答えを先に言います。細い消しゴムは、同じ力を、小さな切り口で受け止めているからです。

でも、これだけでは足りないことが 2 つあります。

1. どれだけの負担がかかっているかを、どう数字にするか。
2. どれだけ伸びたかを、どう比べるか。太い消しゴムも、40 mm の消しゴムが 44 mm まで伸びています。この 4 mm は、大きいのでしょうか、小さいのでしょうか。

予想してから読む同じ力で引っぱるとき、丸棒の直径を2倍にすると、断面の 1 mm² が受け持つ力（応力）は？

A2分の1B4分の1C変わらない

材料力学が答える、2 つの問い

ものに力をかけると、ものは、かならず伸びたり縮んだりします。

材料力学は、そのときに起きることを、数字で答える科目です。聞きたいことは 2 つです。

1. 壊れないか
2. どれだけ伸びる（縮む）か

1 つ目に答える数字が応力、2 つ目に答える数字がひずみです。この先の、はりの曲げも、ねじりも、柱の座屈も、この 2 つの数字を土台にしています。

身のまわりにも、引っぱられて働いているものが、たくさんあります。

• 鎖　つり下げた荷物の重さを、輪の切り口で受け持ちます。
• つり橋のケーブル　細い鋼線を何千本も束ねて、橋の重さを引っぱり受けます。
• ボルト　2 枚の板を締めつけて、軸が引っぱられています。
• エレベーターのロープ　何本かのロープで、かごの重さを分け合います。

どれも、壊れるときは、いちばん細い切り口から壊れます。鎖なら輪の断面、ボルトならねじの部分の断面です。

応力は、断面 1 mm² あたりの力

材料の中の、引っ張り合い

壁に固定した棒の右端を、力 $\sorP$ で引っぱります。このとき、棒の中では何が起きているのでしょうか。

棒の材料を、細かい粒が、小さなばねでつながったものだと考えてみます。この単元では、この「粒とばね」の絵で、応力もひずみも考えます。

右端を $\sorP$ で引くと、すべてのばねが、少しずつ伸びます。

ここで、棒の途中の、ある断面に注目します。この断面をまたぐばねは、どれも、左右の材料を引っ張り合っています。

その力を全部足すと、ちょうど、引っぱる力 $\sorP$ と同じになります。棒の途中に、力を逃がす場所がないからです。

断面をどこに選んでも、同じです。棒のどの断面も、$\sorP$ の力で引っ張り合っています。

応力の式

この力 $\sorP$ を、断面の面積 $\sorA$（断面積）で割ったものが、応力 $\sorSigma$ です。

$$\sorSigma = \dfrac{\overbrace{\sorP}^{\text{引っぱる力}}}{\underbrace{\sorA}_{\text{断面積}}}$$

応力は、断面の 1 mm² が、何 N の力を受け持っているかを表します。粒とばねの絵で言えば、1 mm² の中を通るばねが、合わせて何 N で引っ張り合っているか、です。

なぜ、面積で割るのか

断面の形を、分かりやすく、正方形にして考えます。

一辺を 2 倍にすると、元の正方形を、ちょうど 4 つ並べた大きさになります。一辺 10 mm なら面積は 100 mm²、一辺 20 mm なら 400 mm²。面積は 4 倍です。

円でも、同じです。円の面積 $\sorA = \pi \sorD^2/4$ も、直径の 2 乗に比例します。直径が 2 倍なら、面積は 4 倍です。

4 倍の面積で、同じ力を受け持てば、1 mm² あたりの力は 1/4。応力は 1/4 になります。

冒頭の細い消しゴムも、同じです。同じ力を、小さな断面で受け止めていたので、応力が大きかったのです。

数字で確かめる

「直径が 2 倍なら、応力は 1/4」を、数字で確かめます。同じ 10 kN（10,000 N）で、直径 8 mm と直径 16 mm の丸棒を引っぱります。

使う式は、この 2 つです。

$$\sorA = \dfrac{\pi\,\sorD^2}{4},\qquad \sorSigma = \dfrac{\sorP}{\sorA}$$

直径 8 mm の丸棒です。

$$\sorA = \dfrac{\pi \times 8^2}{4} = 50.27\ \mathrm{mm^2},\qquad \sorSigma = \dfrac{10{,}000\ \mathrm{N}}{50.27\ \mathrm{mm^2}} = 198.9\ \mathrm{MPa}$$

直径 16 mm の丸棒です。

$$\sorA = \dfrac{\pi \times 16^2}{4} = 201.1\ \mathrm{mm^2},\qquad \sorSigma = \dfrac{10{,}000\ \mathrm{N}}{201.1\ \mathrm{mm^2}} = 49.7\ \mathrm{MPa}$$

直径は 2 倍、断面積は 4 倍。応力は 198.9 × 1/4 ＝ 49.7 MPa で、ちょうど 1/4 です。

単位：N/mm² と MPa

力は N（ニュートン）、面積は mm² なので、応力の単位は N/mm² です。これを MPa（メガパスカル）とも書きます。1 N/mm² = 1 MPa で、どちらも同じ大きさです。

力が kN で与えられたときは、N に直してから割ります（20 kN = 20,000 N）。

引張と圧縮

引っぱる向きの応力を引張応力、押す向きの応力を圧縮応力と呼びます。式の上では、引張をプラス、圧縮をマイナスにします。大きさは、どちらも $\sorP/\sorA$ です。

この単元の応力は、断面に垂直にかかる垂直応力です。断面に沿ってずらそうとする応力はせん断応力（記号 $\tau$）で、はさみで紙を切るときにかかります。せん断応力は、別の単元で扱います。

ひずみは、伸び ÷ もとの長さ

棒を引っぱると、伸びます。もとの長さを $\sorL$、伸びを $\sorDL$ とすると、伸びを、もとの長さで割ったものがひずみ $\sorEps$ です。

$$\sorEps = \dfrac{\overbrace{\sorDL}^{\text{伸び}}}{\underbrace{\sorL}_{\text{もとの長さ}}}$$

なぜ、伸びそのものではなく、割合で言うのでしょうか。

長さ 100 mm のゴムひもと、長さ 1000 mm のゴムひもを、どちらも 1 mm 伸ばします。短いひもは 1%、長いひもは 0.1% です。

粒とばねの絵で考えます。長いひもには、短いひもの 10 倍の数のばねが、一列に並んでいます。同じ 1 mm の伸びを、10 倍の数のばねで分け合うので、ばね 1 つあたりの伸びは 1/10 です。

同じ 1 mm でも、材料の引き伸ばされ方は、10 倍ちがうのです。

反対に、100 mm のひもが 101 mm に、1000 mm のひもが 1010 mm に伸びたとします。伸びは 1 mm と 10 mm でちがいますが、どちらも、もとの長さの 1% です。

このとき、ばね 1 つ 1 つの伸びは、2 本のひもで同じです。材料の引き伸ばされ方は同じで、これを「ひずみが同じ」と言います。

ひずみは、mm ÷ mm なので、単位がありません。% で書いたり、$10^{-6}$ を「マイクロ」と呼んで書いたりします。たとえば、0.0483% は 483×10⁻⁶（483 マイクロ）です。鋼の機械や建物のひずみは、ふつう、0.1% より小さな値です。

2 つの式を、かたまりに分けて読む

$$\sorSigma = \dfrac{\overbrace{\sorP}^{\text{引っぱる力}}}{\underbrace{\sorA}_{\text{断面積}}},\qquad \sorEps = \dfrac{\overbrace{\sorDL}^{\text{伸び}}}{\underbrace{\sorL}_{\text{もとの長さ}}}$$

1. 力 $\sorP$ ÷ 面積 $\sorA$　1 mm² あたりに直す割り算です。粒とばねの絵では、1 mm² を通るばねが受け持つ力です。
2. 伸び $\sorDL$ ÷ もとの長さ $\sorL$　1 mm あたり、何 mm 伸びたかに直す割り算です。粒とばねの絵では、ばね 1 つ 1 つの伸びの割合です。
3. どちらも、棒の太さや長さに関係なく、材料そのものの状態を表す　同じ鋼なら、太さや長さのちがう棒でも、応力とひずみが同じなら、材料の中の 1 つ 1 つのばねは、同じだけ引っぱられ、同じだけ伸びています。だから、同じ物差しで比べられます。

鋼の丸棒で、確かめる

2 つの式を使って、鋼の丸棒の応力と伸びを出し、冒頭の消しゴムと比べます。

直径 16 mm、長さ 1 m の鋼の丸棒を、20 kN で引っぱります。20 kN は、およそ 2 トンの重さです。

断面積と応力は、ここまでの式で出せます。力は、20 kN ＝ 20,000 N に直して入れます。

$$\sorA = \dfrac{\pi \times 16^2}{4} = 201.1\ \mathrm{mm^2},\qquad \sorSigma = \dfrac{\sorP}{\sorA} = \dfrac{20{,}000\ \mathrm{N}}{201.1\ \mathrm{mm^2}} = 99.5\ \mathrm{MPa}$$

ここで、ありがちなまちがいがあります。20 kN を 20 のまま割ってしまうと、$\sout{20 \div 201.1 = 0.0995}$ になります。正しい 99.5 MPa の 1000 分の 1 の、ありえないほど小さな値です。答えが小さすぎると感じたら、まず単位を疑ってください。

伸びを出すには、鋼の伸びにくさを表す数、縦弾性係数 $\sE$ を使います。鋼では 206 GPa（＝206,000 MPa）です。応力を $\sE$ で割ると、ひずみが出ます。なぜ割ればよいのかは、次の単元 フックの法則と縦弾性係数 で説明します。

$$\sorEps = \dfrac{\sorSigma}{\sE} = \dfrac{99.5\ \mathrm{MPa}}{206{,}000\ \mathrm{MPa}} = 0.000483 = 0.0483\%$$

ひずみの式 $\sorEps = \sorDL/\sorL$ を、伸びについて解くと $\sorDL = \sorEps\,\sorL$ です。もとの長さ 1000 mm をかけます。

$$\sorDL = \sorEps\,\sorL = 0.000483 \times 1000\ \mathrm{mm} = 0.483\ \mathrm{mm}$$

ここでも、見落としがちなまちがいがあります。% のまま 0.0483 をかけると、$\sout{0.0483 \times 1000 = 48.3\ \mathrm{mm}}$ で、100 倍の答えになります。0.0483% は、小数にすると 0.000483 です。

2 トンもの力で引っぱっても、1 m の鋼は、0.5 mm も伸びません。見た目では、まず分かりません。

冒頭の消しゴムに戻ります。40 mm の消しゴムが 44 mm になったので、ひずみは 4 ÷ 40 ＝ 10% でした。鋼の丸棒の 0.0483% は、その約 200 分の 1 です。

ひずみで比べると、太さも長さもちがう消しゴムと鋼の棒を、同じ物差しで比べられます。これが、冒頭の 2 つ目の問いの答えです。

どの数字が、いちばん効く？

荷重・直径・長さのどれか 1 つを、10% だけ増やします。基準は、上の丸棒（20 kN、直径 16 mm、長さ 1000 mm）で、応力 99.5 MPa、伸び 0.483 mm です。

まず式を見ます。断面積を直径で書くと、応力の式は次の形になります。

$$\sorSigma = \dfrac{\sorP}{\pi \sorD^2/4}$$

荷重 $\sorP$ は、分子にあります。荷重を 10% 増やすと、応力も 10% 増えます。

直径 $\sorD$ は、分母で 2 乗されています。直径を 10% 増やすと、分母は 1.1² = 1.21 倍。応力は 1/1.21 ＝ 0.826 倍で、約 17% 下がります。

長さ $\sorL$ は、この式のどこにもありません。長さを変えても、応力は変わりません。変わるのは、伸びだけです。

ひずみは、応力を $\sE$ で割った値なので、応力と同じ割合で変わります。たとえば、直径を 10% 増やすと、応力は 82.2 MPa、伸びは 0.399 mm になります。

逆に、直径を 10% 減らすと、断面積は 0.81 倍になり、応力は 1/0.81 で、約 23.5% 上がります。

荷重は比例、直径は 2 乗に反比例、長さは応力に効かない。長さは、伸びにだけ効きます。

壊れる応力は、材料で決まっている

荷重を増やして、応力を上げていきます。鋼は、ある応力をこえると、力を外しても、もとの長さに戻らなくなります。この応力を降伏点と言います。さらに上げると、やがてちぎれます。

一般構造用の鋼材 SS400 では、規格（JIS G 3101）で、降伏点が 245 MPa 以上（厚さ 16 mm 以下のとき）、引張強さ（ちぎれる手前の、いちばん大きな応力）が 400〜510 MPa と決まっています。くわしくは、次の単元の応力-ひずみ線図で扱います。

設計では、降伏点ぎりぎりまでは使いません。余裕をとって、使ってよい応力の上限を決めます。これを許容応力と言います。たとえば、降伏点 245 MPa を安全率 2 で割ると、約 120 MPa です（安全率は、用途や基準で決まります。この 120 MPa は、あくまで例です）。

先の丸棒の 99.5 MPa は、120 MPa より下で、使ってよい範囲に入っています。許容応力の 0.83 倍（使用率 0.83）です。

この丸棒に、どこまで荷重をかけてよいかも出せます。使う式は、応力の式を荷重について解いた形です。

$$\sorPa = \sorSigA\,\sorA = 120\ \mathrm{MPa} \times 201.1\ \mathrm{mm^2} = 24{,}100\ \mathrm{N} = 24.1\ \mathrm{kN}$$

120 MPa × 201.1 mm² = 24.1 kN が、この丸棒にかけてよい荷重（許容荷重）です。降伏点 245 MPa に届く荷重は、245 × 201.1 = 49.3 kN。許容荷重の約 2 倍の余裕があります。

動かしてみよう

荷重・断面（丸棒か長方形）・長さを動かして、応力・ひずみ・伸びを見てください。引張と圧縮も、切り替えられます。鋼の縦弾性係数 $\sE$ は、206 GPa に固定してあります。

まず、直径を 16 mm から 32 mm に、2 倍にしてみてください。応力が 1/4 になるかを確かめます。

次に、長さを 2 倍にして、応力・ひずみ・伸びの、どれが変わり、どれが変わらないかを見てください。

断面と向きを選ぶ切り替えると、数字は初期値に戻ります（E は鋼の固定値 206 GPa）

丸棒長方形

引張（引く）圧縮（押す）

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1直径 d を2倍の 32 mm にして、応力を見る（まだ）
2. 2直径を 16 mm に戻し、長さ L を2倍の 2,000 mm にする（まだ）
3. 3長さを 1,000 mm に戻し、直径を半分の 8 mm にする（まだ）

P荷重（棒を引く・押す力）−kN＋

d丸棒の直径−mm＋

L棒の長さ−mm＋

σa許容応力（目安の値）−MPa＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる応力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

伸びの描き方いまの倍率　×126

倍率を固定実寸

伸びは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×126 のまま変えないので、数字を変えると、伸びの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-geometry}{A}}$$$$= \dfrac{20{,}000}{201.1}$$$$= 99.47\ \mathrm{MPa}$$

断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 201.1\ \mathrm{mm^2}$

応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = 99.47\ \mathrm{MPa}$

ひずみ

$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon} = 0.04829\ \%$

伸び（圧縮では縮み）

$\htmlClass{q-displacement}{\Delta L} = 0.4829\ \mathrm{mm}$

使用率（応力 ÷ 許容応力）

$\htmlClass{q-stress}{\sigma/\sigma_a} = 0.829\$

許容荷重（許容応力に達する荷重）

$\htmlClass{q-force}{P_a} = 24.13\ \mathrm{kN}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面積（力を受け持つ切り口の面積）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^2}{4} = \dfrac{\pi \times 16^2}{4} = 201.1\ \mathrm{mm^2}$$

2. 応力（力 ÷ 断面積）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{20{,}000}{201.1} = 99.47\ \mathrm{MPa}$$

3. ひずみ（応力 ÷ 縦弾性係数 E。E は鋼の固定値 206 GPa。くわしくは次の単元）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma}}{\htmlClass{q-material}{E}} = \dfrac{99.47\ \mathrm{N/mm^2}}{206{,}000\ \mathrm{N/mm^2}} = 0.04829\ \%$$

4. 伸び（ひずみ × もとの長さ。ひずみの定義 ε = ΔL/L を、ΔL について解く）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\Delta L} = \htmlClass{q-displacement}{\varepsilon}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 4.829\times 10^{-4} \times 1{,}000 = 0.4829\ \mathrm{mm}$$

5. 許容荷重と、使用率（応力 ÷ 許容応力）

   $$\htmlClass{q-force}{P_a} = \htmlClass{q-stress}{\sigma_a}\,\htmlClass{q-geometry}{A},\quad \dfrac{|\htmlClass{q-stress}{\sigma}|}{\htmlClass{q-stress}{\sigma_a}} = 120 \times 201.1,\quad \dfrac{99.47}{120} = 24.13\ \mathrm{kN},\ 0.829$$

よくある勘違い

「応力は、力のこと」

ちがいます。応力は、力を面積で割ったものです。単位も、力は N、応力は N/mm² で、別のものです。

同じ 1 kN でも、直径が 2 倍ちがう細い棒と太い棒では、応力が 4 倍ちがいます。

「ひずみは、伸びた長さのこと」

ちがいます。伸びは長さ、ひずみは割合です。「伸び 0.483 mm」は長さで、「ひずみ 0.0483%」は単位のない割合です。

「強い材料は、伸びにくい」

強さと、伸びにくさは、別の性質です。

「強いけれど、よく伸びる」材料も、「伸びにくいけれど、もろい」材料もあります。伸びにくさの数字 $\sE$ が、次の単元の主役です。

「圧縮は、引張の逆向きなだけ」

応力の大きさの式は同じです。でも、細長い棒を押すと、縮む前に、横へ曲がることがあります（座屈）。座屈は、オイラーの座屈荷重 で扱います。この単元の圧縮は、まっすぐ縮む、短い棒だけを考えます。

この単元で使う前提

• 棒の断面は、全体で一定（太さが変わらない）
• 力は、棒の軸の方向に、まっすぐ、断面の中心にかかる
• 荷重をかけた端から、棒の太さの数倍以上はなれた場所では、断面の全体に、応力が一様に分かれる
• 応力が、降伏点より小さい（荷重を外せば、もとの長さに戻る範囲）。伸びを $\sE$ から出せるのは、この範囲だけ
• 変形は、もとの長さに比べて、ずっと小さい
• 圧縮は、座屈しない、短い棒

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

応力：棒の軸に垂直な断面で、棒を 2 つに分けて、左の部分だけを見ます。左の部分は止まっているので、壁が引く力と、断面で右の部分が引く力が釣り合っています。壁が引く力は $\sorP$ なので、断面の力の合計も $\sorP$ です。

応力が断面全体で一様なら、1 mm² あたりの力 $\sorSigma$ に面積 $\sorA$ をかけたものが、合計の力です。

$$\sorSigma\,\sorA = \sorP$$

両辺を $\sorA$ で割ると、$\sorSigma = \sorP/\sorA$ です。

ひずみ：棒を、長さ 1 mm ずつの区間に分けます。断面も力も一定の棒では、どの区間も同じだけ伸びます。1 区間の伸びを $\sorEps$ mm とすると、区間は $\sorL$ 個あるので、全体の伸びはその和です。

$$\sorDL = \underbrace{\sorEps + \sorEps + \cdots + \sorEps}_{\sorL\ \text{個}} = \sorEps\,\sorL$$

両辺を $\sorL$ で割ると、$\sorEps = \sorDL/\sorL$ です。1 mm あたりの伸びが、ひずみです。

伸びを求める式：この単元のシミュレータは、応力からひずみを出すのに、$\sorEps = \sorSigma/\sE$（フックの法則。次の単元で説明）を使います。3 つの式をつなぐと、

$$\sorDL = \sorEps\,\sorL = \dfrac{\sorSigma}{\sE}\,\sorL = \dfrac{\sorP\,\sorL}{\sE\,\sorA}$$

荷重と長さに比例し、断面積と $\sE$ に反比例して、伸びます。