科目: 機械力学・振動工学
章: 振動の基礎
図番: 05 / 11
内容: シミュレータ・例題3問

機械力学・振動工学　5 / 11

軸は、ねじれる向きにも揺れるねじり振動（回る物の揺れ）

細い軸の先の円板は、ねじれては戻る。軸がかたいほど、円板が回しやすいほど速くゆれる。軸を2倍長くすると振動数は約0.71倍、2倍太くすると4倍。同じ質量の円板でも直径2倍で振動数は半分。

シミュレータで試す
例題 3 問
導出つき

まず触ってみる

数字を動かして、何が起きるかを見てから読み進めてください。課題つきの盤は、本文の「動かしてみよう」にあります。

このページの内容

回る物も、ゆれる
綱引きの、回る版
戻す強さは、材料力学のねじれ角から
回しにくさ J は、円板の慣性モーメント
公式を、3つのかたまりに分けて読む
ねじり振り子の答え
太さが4倍で効く理由
どの数字がいちばん効く？
動かしてみよう
よくある勘違い
この公式が使える条件
例題

この単元のポイント

軸を2倍長くすると、振動数は約 0.71倍（ $1/\sqrt{2}$ ）になる。
軸を2倍太くすると、振動数は4倍になる。戻す強さは16倍、振動数はその √ で4倍。
同じ質量の円板でも、直径を2倍にすると、振動数は2分の1になる。

回る物も、ゆれる

置き時計の中には、振り子が左右に振れる代わりに、円板が「くるっと回って、戻って」をくり返すものがあります。細い線（薄い金属の帯）の先に円板がつるしてあり、線がねじれては戻ります。

ガラスのドームに入った置き時計。文字盤の下で、細い線につるした円板が、左右に回って戻る — **図 5-01**円板が、細い線をねじっては戻ります。

同じゆれは、機械の中でも起きます。モータとファンをつなぐ軸、エンジンのクランク軸。回りながら、軸がほんの少しねじれては戻ります。

このゆれが大きくなると、歯車がガタガタ鳴ったり、軸がくり返しねじられて、疲れて折れたりします。外からは、ただ回っているようにしか見えないので、気づきにくいゆれです。

モータと送風機のファンが、1本の軸でつながっている。軸のまわりに、ねじれのゆれを示す青い円弧の矢印 — **図 5-02**回りながら、軸がねじれては戻ります。

この単元では、1つのねじり振り子で考えます。直径 2 mm・長さ 500 mm の鋼の線の上端を天井に固定し、下端に、直径 150 mm・質量 2 kg の鋼の円板を水平に付けます。円板を 20° ねじって、はなします。

天井からつるした細い線の先に、水平な円板。手で円板を少し回してから、はなす。戻る向きを青い円弧の矢印で示す — **図 5-03**円板をねじって、はなします。

円板は、1秒に何回ゆれるでしょうか。

予想してから読む線を2倍の太さ（直径 4 mm）にすると、1秒にゆれる回数は？

綱引きの、回る版

1自由度の自由振動（ばねと質量）の単元では、ばねにつるしたおもりのゆれを、綱引きで読みました。ばねは「戻そうとする」、おもりは「そのまま動き続けようとする」。速さは、この2つの強さの比で決まりました。

\skrOmegaN = \sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}}

ねじり振り子も、同じ綱引きです。ねじれた線は、円板を「戻そうとする」。回り始めた円板は、「そのまま回り続けようとする」。まっすぐの動きを、回る動きに置き換えるだけです。

	ばねとおもり	ねじり振り子
ずれの大きさ	変位 $x$ [m]	回った角度 $\snsTheta$ [rad]
戻そうとする強さ	ばね定数 $\skrk$ [N/m]	ねじりばね定数 $\skrKt$ [N·m/rad]
動き続けようとする強さ	質量 $\skrm$ [kg]	慣性モーメント $\skrJ$ [kg·m²]
戻す力	$\skrk\,x$ （力）	$\skrKt\,\snsTheta$ （トルク）

表の右の列を、綱引きの式に入れます。

\skrOmegaN = \sqrt{\dfrac{\skrKt}{\skrJ}}, \qquad \skrFn = \dfrac{\skrOmegaN}{2\pi}

ねじりばね定数 $\skrKt$ は「1 rad ねじるのに要るトルク」です。慣性モーメント $\skrJ$ は「回しにくさ」です（慣性モーメント（回しにくさ）の単元）。あとは、この2つを、線と円板の寸法から出せば、答えが出ます。

戻す強さは、材料力学のねじれ角から

丸軸のねじりの単元で、丸い軸をトルク $\sTq$ でねじったときのねじれ角を出しました。

\sphiTw = \dfrac{\sTq\,\sLax}{\sGshear\,\snsJp}

$\sGshear$ は材料のずれにくさ（せん断弾性係数。鋼で 79 GPa）、 $\snsJp$ は断面の形のねじれにくさ（極断面二次モーメント）です。

記号に注意。材料力学の単元では、極断面二次モーメントを $J$ と書きました。この科目では $J$ を慣性モーメントに使うので、極断面二次モーメントは $\snsJp$ と書き分けます。

ねじりばね定数は「トルク ÷ ねじれ角」です。上の式を $\sTq/\sphiTw$ の形に直します。

\skrKt = \dfrac{\sTq}{\sphiTw} = \dfrac{\sGshear\,\snsJp}{\sLax}, \qquad \snsJp = \dfrac{\pi\,\sdRod^4}{32}

直径 2 mm の線なら、 $\snsJp = \pi \times 2^4/32 = 1.571\ \mathrm{mm^4}$ です。長さは 500 mm なので、

\skrKt = \dfrac{79{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 1.571\ \mathrm{mm^4}}{500\ \mathrm{mm}} = 248.2\ \mathrm{N\cdot mm/rad} = 0.2482\ \mathrm{N\cdot m/rad}

1 rad（約57°）ねじるのに、0.25 N·m ほどのトルクで足ります。指先で軽くひねれる強さです。

回しにくさ J は、円板の慣性モーメント

円板の回しにくさは、慣性モーメント（回しにくさ）の単元で出した、中実の円板の式で求めます。直径 $\snsD$ で書くと、

\skrJ = \dfrac{\skrm\,\snsD^2}{8} = \dfrac{2 \times 0.15^2}{8} = 0.005625\ \mathrm{kg\cdot m^2}

半径 $r = \snsD/2$ で書いた $\skrm\,r^2/2$ と同じ式です。質量が中心から遠くにあるほど回しにくいので、直径が2乗で効きます。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$\skrKt$ と $\skrJ$ を、綱引きの式に入れます。

\skrOmegaN = \sqrt{\underbrace{\sGshear\,\dfrac{\pi\,\sdRod^4}{32}}_{\text{材料と太さ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sLax}}_{\text{長さ}} \times \underbrace{\dfrac{8}{\skrm\,\snsD^2}}_{\text{円板の回しにくさ}}}

材料と太さ $\sGshear\,\pi\sdRod^4/32$ 　線のねじれにくさです。太さは4乗で効きます。直径を2倍にすると、16倍ねじれにくくなります。
長さ $1/\sLax$ 　長い線ほど、少しずつのねじれが積み重なって、ねじれやすくなります。長さ2倍で、戻す強さは半分です。
円板の回しにくさ $1/\skrJ$ 　重い円板、大きな円板ほど、ゆっくりゆれます。

全体に √ がかかっています。どの数字も、効き目は √ で弱まって振動数に出ます。

ねじり振り子の答え

使う式は、 $\skrOmegaN = \sqrt{\skrKt/\skrJ}$ と $\skrFn = \skrOmegaN/2\pi$ です。

\skrOmegaN = \sqrt{\dfrac{0.24819}{0.005625}} = 6.642\ \mathrm{rad/s}

\skrFn = \dfrac{6.642}{2\pi} = 1.057\ \mathrm{Hz}, \qquad \skrTn = \dfrac{1}{1.057} = 0.946\ \mathrm{s}

円板は、1秒に約1回ゆれます。1往復は 0.946 秒です。

太さが4倍で効く理由

線を2倍の太さ（直径 4 mm）にします。

1. 戻す強さは16倍。 $\snsJp$ は直径の4乗なので、 $2^4 = 16$ 倍。 $\skrKt$ も16倍の 3.971 N·m/rad です。

2. 振動数は、その √。回しにくさ $\skrJ$ は変わりません。振動数は $\sqrt{\skrKt}$ に比例するので、

\dfrac{\skrFn\ (\text{太い線})}{\skrFn\ (\text{細い線})} = \sqrt{16} = 4, \qquad \skrFn = 4.229\ \mathrm{Hz}

答えは4倍です。~~16倍~~ではありません。16倍になるのは、戻す強さのほうです。

同じように、ほかの2つのポイントも読めます。

変えるもの	変わる量	振動数
線を2倍長く（1,000 mm）	$\skrKt$ が 1/2	$1/\sqrt{2}$ で約 0.71倍（0.748 Hz）
線を2倍太く（4 mm）	$\skrKt$ が 16倍	$\sqrt{16}$ で4倍（4.229 Hz）
同じ 2 kg のまま、円板の直径を2倍（300 mm）	$\skrJ$ が 4倍	$1/\sqrt{4}$ で2分の1（0.529 Hz）

どの数字がいちばん効く？

それぞれの数字を1割（10%）だけ大きくしたとき、振動数がどう変わるかを並べます。

変えるもの	振動数の変化	理由
線の直径 $\sdRod$ を10%太く	+21%	4乗の √ で、2乗で効く（1.1² = 1.21）
円板の直径 $\snsD$ を10%大きく	−9.1%	2乗の √ で、1乗で効く
材料の $\sGshear$ を10%大きく	+4.9%	√ で効く
線の長さ $\sLax$ を10%長く	−4.7%	√ で効く
円板の質量 $\skrm$ を10%重く	−4.7%	√ で効く

線の太さが、ほかよりはっきり強く効きます。はじめにねじる角度は、表にありません。振動数には効かないからです。

つまり、ものを作るときは

回る軸のねじれのゆれは、振動数を「回転のむら」の振動数から離しておくのが基本です（くわしくは強制振動と共振の単元）。振動数を上げたいなら、まず軸を太くします。いちばん効くのは太さで、2乗で効きます。次に、軸を短くするか、重い部品を中心の近くに寄せます。

エンジンのクランク軸は、太さも長さも、ほかの部品の都合で自由には変えられません。そこで、軸の先のプーリに、ゴムを挟んだ重りの輪を付けて、ねじれのゆれを吸い取る部品（ねじり振動ダンパ）を付けることがあります。

エンジンのクランク軸の先に付いたプーリ。内側の輪と外側の重い輪の間に、ゴムの層が挟まっている — **図 5-04**内側の輪と外側の重い輪の間に、ゴムが挟まっています。

動かしてみよう

線の直径 $\sdRod$ 、長さ $\sLax$ 、円板の直径 $\snsD$ を変えて、右の円板の印の線が、どれだけ速く左右に回るかを見てください。波形は、回った角度 $\snsTheta$ の時間の変化です。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の波形が薄く残り、速さの違いを重ねて見られます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります

試してみよう0 / 3

軸の長さ L を2倍の 1,000 mm にして、ゆれ方を見る（まだ）
軸の直径 d を2倍の 4 mm にする（L は 500 mm に戻す）（まだ）
円板の質量はそのままで、直径 D を2倍の 300 mm にする（d は 2 mm に戻す）（まだ）

d軸の直径mm

L軸の長さmm

Gせん断弾性係数

m質量kg

D円板の直径mm

θ0はじめにねじる角度度

t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねる固有振動数は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}}{2\pi}

= \dfrac{6.642}{2\pi}

= 1.057\ \mathrm{Hz}

ねじりばね定数: $\htmlClass{q-material}{k_t} = 0.2482\ \mathrm{N\cdot m/rad}$
慣性モーメント: $\htmlClass{q-material}{J} = 0.005625\ \mathrm{kg\cdot m^2}$
固有角振動数: $\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = 6.642\ \mathrm{rad/s}$
固有振動数: $\htmlClass{q-flow}{f_n} = 1.057\ \mathrm{Hz}$
固有周期: $\htmlClass{q-flow}{T_n} = 0.9459\ \mathrm{s}$
軸の表面のせん断応力（いちばんねじれたとき）: $\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = 55.2\ \mathrm{MPa}$

途中の計算（導出）を見る

軸の極断面二次モーメント（材料力学の丸軸のねじりの単元で出したもの）
$\htmlClass{q-material}{J_p} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^4}{32} = \dfrac{\pi \times 2^4}{32} = 1.571\ \mathrm{mm^4}$
軸のねじりばね定数（1 rad ねじるのに要るトルク）
$\htmlClass{q-material}{k_t} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{G}\,\htmlClass{q-material}{J_p}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{79{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 1.571\ \mathrm{mm^4}}{500\ \mathrm{mm}} = 248.2\ \mathrm{N\cdot mm/rad} = 0.2482\ \mathrm{N\cdot m/rad}$
円板の慣性モーメント（中実の円板）
$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{D}^2}{8} = \dfrac{2 \times 0.15^2}{8} = 0.005625\ \mathrm{kg\cdot m^2}$
固有角振動数（綱引きの回る版：k をねじりばね定数に、m を J に）
$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k_t}}{\htmlClass{q-material}{J}}} = \sqrt{\dfrac{0.2482}{0.005625}} = 6.642\ \mathrm{rad/s}$
固有振動数（1秒に何回ゆれるか）
$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}}{2\pi} = \dfrac{6.642}{2\pi} = 1.057\ \mathrm{Hz}$
固有周期（1往復にかかる時間）
$\htmlClass{q-flow}{T_n} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-flow}{f_n}} = \dfrac{1}{1.057} = 0.9459\ \mathrm{s}$
いちばんねじれたときの、軸の表面のせん断応力（壊れないかの確かめ）
$\htmlClass{q-stress}{\tau_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{G}\,(\htmlClass{q-geometry}{d}/2)\,\htmlClass{q-displacement}{\theta_0}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{79{,}000 \times 1 \times 0.3491}{500} = 55.2\ \mathrm{MPa}$

よくある勘違い

「太さを2倍にすれば、振動数も16倍」

16倍になるのは、戻す強さ $\skrKt$ です。振動数は $\sqrt{\skrKt/\skrJ}$ なので、√ がかかって4倍です。長さも同じで、長さ2倍で戻す強さは 1/2、振動数は約 0.71倍です。~~1/2~~ではありません。

「慣性モーメント J と、極断面二次モーメント J は同じもの」

名前も記号も似ていますが、別の量です。

量	何を表すか	単位	決めるもの
慣性モーメント $\skrJ$	回しにくさ（回り続けようとする強さ）	kg·m²	質量と、その中心からの距離
極断面二次モーメント $\snsJp$	断面の形のねじれにくさ	mm⁴	断面の形だけ（材料も質量も関係ない）

どちらも「距離の2乗を足し合わせたもの」なので、同じ形の式になります。ねじり振り子では、 $\snsJp$ は線（戻す側）に、 $\skrJ$ は円板（動き続ける側）に属します。綱引きの、反対の側です。

天井からつるした細い線の先に、形の込み入った部品（ファンの羽根）を付けて、ストップウォッチで往復の時間を測る手 — **図 5-05**ゆれの周期を測ると、形の込み入った部品の回しにくさが分かります（例題2）。

「大きくねじると、1往復に時間がかかる」

ねじりが小さい範囲では、ねじる角度を2倍にすると、戻すトルクも2倍になります。だから、大きくねじっても、1往復の時間は変わりません。

ただし、線の表面のせん断応力は、ねじる角度に比例して大きくなります。20° ねじった線の表面は 55.2 MPa です。直径 4 mm の線を同じだけねじると、110.3 MPa になります。シミュレータでは、鋼が元に戻らなくなる目安（約 135 MPa）を超えると注意が出ます。

この公式が使える条件

ねじれが小さく、ねじる角度とトルクが比例する範囲（弾性の範囲）
線（軸）の上端は動かない。線の慣性モーメントは、円板に比べて小さいので考えない
円板は、中が詰まった、厚さのそろった円板（ $\skrJ = \skrm\,\snsD^2/8$ ）
空気の抵抗や、線の中の摩擦によるゆれの減り方は考えない（くわしくは減衰振動の単元）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

回る運動の式：円板が角度 $\snsTheta$ だけ回っているとき、ねじれた線は、円板を戻す向きに $\skrKt\,\snsTheta$ のトルクをかけます。回る物の運動の式「慣性モーメント × 角加速度＝トルク」から、

\skrJ\,\dfrac{d^2\snsTheta}{dt^2} = -\skrKt\,\snsTheta

これは、ばねとおもりの $\skrm\,d^2x/dt^2 = -\skrk\,x$ と、文字が入れ替わっただけの式です。だから答えも同じ形で、 $\snsTheta_0$ だけねじって静かにはなすと、

\snsTheta(t) = \snsTheta_0 \cos \skrOmegaN t, \qquad \skrOmegaN = \sqrt{\dfrac{\skrKt}{\skrJ}}

$\snsTheta_0$ は答えの振れ幅にだけ入り、 $\skrOmegaN$ には入りません。周期がねじる角度によらないのは、このためです。

極断面二次モーメント：断面を、半径 $r$ 、幅 $dr$ の薄い輪に分けます。輪の面積は $2\pi r\,dr$ です。

\snsJp = \int_0^{\sdRod/2} r^2 \cdot 2\pi r\,dr = 2\pi \cdot \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\sdRod}{2}\right)^4 = \dfrac{\pi\,\sdRod^4}{32}

円板の慣性モーメント：同じ薄い輪に分けます。半径 $R = \snsD/2$ の円板で、輪の質量は $\skrm \cdot 2\pi r\,dr/(\pi R^2)$ です。

\skrJ = \int_0^{R} r^2 \cdot \dfrac{2\skrm\,r}{R^2}\,dr = \dfrac{2\skrm}{R^2} \cdot \dfrac{R^4}{4} = \dfrac{\skrm\,R^2}{2} = \dfrac{\skrm\,\snsD^2}{8}

どちらも「距離² × 小さな量」を足した形です。 $\snsJp$ は面積を、 $\skrJ$ は質量を足しています。

例題

例題1　実験用のねじり振り子

直径 1.5 mm・長さ 800 mm の鋼線（G = 79 GPa）の上端を天井に固定し、下端に、直径 120 mm・質量 0.5 kg の鋼の円板を水平に付けます。

円板を少しねじってはなします。(1) 線のねじりばね定数 $k_t$ 、(2) 円板の慣性モーメント J、(3) 固有振動数と周期を求めてください。線の慣性モーメントは考えません。

ヒント 1 / 2

$k_t = G J_p / L$ （ $J_p = \pi d^4/32$ ）と、円板の $J = m D^2/8$ を先に出し、 $\omega_n = \sqrt{k_t/J}$ に入れます。

ヒント 2 / 2

$J_p = \pi \times 1.5^4 / 32 = 0.4970\ \mathrm{mm^4}$ です。

答えと解き方を見る

(1)\ \skrKt = 0.04908\ \mathrm{N\cdot m/rad}

(2)\ \skrJ = 9\times 10^{-4}\ \mathrm{kg\cdot m^2}

(3)\ \skrFn = 1.175\ \mathrm{Hz},\quad \skrTn = 0.851\ \mathrm{s}

軸の極断面二次モーメント（材料力学の丸軸のねじりの単元で出したもの）
$\htmlClass{q-material}{J_p} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^4}{32} = \dfrac{\pi \times 1.5^4}{32} = 0.497\ \mathrm{mm^4}$
軸のねじりばね定数（1 rad ねじるのに要るトルク）
$\htmlClass{q-material}{k_t} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{G}\,\htmlClass{q-material}{J_p}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{79{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 0.497\ \mathrm{mm^4}}{800\ \mathrm{mm}} = 49.08\ \mathrm{N\cdot mm/rad} = 0.04908\ \mathrm{N\cdot m/rad}$
円板の慣性モーメント（中実の円板）
$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{D}^2}{8} = \dfrac{0.5 \times 0.12^2}{8} = 9\times 10^{-4}\ \mathrm{kg\cdot m^2}$
固有角振動数（綱引きの回る版：k をねじりばね定数に、m を J に）
$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k_t}}{\htmlClass{q-material}{J}}} = \sqrt{\dfrac{0.04908}{9\times 10^{-4}}} = 7.385\ \mathrm{rad/s}$
固有振動数（1秒に何回ゆれるか）
$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}}{2\pi} = \dfrac{7.385}{2\pi} = 1.175\ \mathrm{Hz}$
固有周期（1往復にかかる時間）
$\htmlClass{q-flow}{T_n} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-flow}{f_n}} = \dfrac{1}{1.175} = 0.8508\ \mathrm{s}$

線は細いので、ねじりばね定数はとても小さく、1 rad（約57°）ねじるのに 0.05 N·m ほどしか要りません。それでも円板の慣性モーメントも小さいので、1秒に1回あまりゆれます。

例題2　ゆれの周期から、回しにくさを測る

例題1の鋼線に、円板の代わりに、形の込み入った部品（ファンの羽根）を付けました。形が複雑で、慣性モーメントを計算で出すのは大変です。

ねじってはなすと、10往復にちょうど 20.0 秒かかりました。この部品の慣性モーメント J はいくらですか。

ヒント 1 / 2

周期の式 $T_n = 2\pi\sqrt{J/k_t}$ を、 $J$ について解きます。 $k_t$ は例題1と同じ線なので同じ値です。

ヒント 2 / 2

周期は $20.0 \div 10 = 2.00\ \mathrm{s}$ です。

答えと解き方を見る

\skrJ = \dfrac{\skrKt\,\skrTn^2}{4\pi^2} = 0.004973\ \mathrm{kg\cdot m^2}

1往復の時間（周期）
$\skrTn = \dfrac{20.0\ \mathrm{s}}{10} = \dfrac{20.0}{10} = 2\ \mathrm{s}$
周期の式を、J について解く
$\skrJ = \dfrac{\skrKt\,\skrTn^2}{4\pi^2} = \dfrac{0.04908 \times 2^2}{4\pi^2} = 0.004973\ \mathrm{kg\cdot m^2}$

例題1の円板（0.0009 kg·m²）の約5.5倍の回しにくさです。周期は 0.851 s から 2.00 s へ、約2.35倍に延びました。周期は J の √ に比例するので、2.35² ≒ 5.5 です。

ねじり振り子は、形の込み入った部品の慣性モーメントを測る方法として使われます。

例題3　モータとファンをつなぐ軸

モータとファンが、直径 20 mm・長さ 400 mm の鋼の軸（G = 79 GPa）でつながっています。ファンの羽根車は、直径 400 mm・質量 2.5 kg の円板とみなします。モータ側は回しにくさが大きく、ほとんど動かないとみなします。

(1) 軸のねじり振動の固有振動数はいくらですか。(2) 軸を、同じ寸法のアルミニウム合金（G = 26 GPa）に替えると、固有振動数は何倍になりますか。

ヒント 1 / 2

例題1と同じ順で、 $J_p$ → $k_t$ → $J$ → $f_n$ と進めます。

ヒント 2 / 2

(2) は $f_n \propto \sqrt{k_t} \propto \sqrt{G}$ を使えば、計算し直さずに比が出ます。

答えと解き方を見る

(1)\ \skrFn = 39.6\ \mathrm{Hz}

(2)\ 22.7\ \mathrm{Hz},\quad \sqrt{26/79} = 0.574\ \text{倍}

軸の極断面二次モーメント（材料力学の丸軸のねじりの単元で出したもの）
$\htmlClass{q-material}{J_p} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^4}{32} = \dfrac{\pi \times 20^4}{32} = 15{,}710\ \mathrm{mm^4}$
軸のねじりばね定数（1 rad ねじるのに要るトルク）
$\htmlClass{q-material}{k_t} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{G}\,\htmlClass{q-material}{J_p}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{79{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 15{,}710\ \mathrm{mm^4}}{400\ \mathrm{mm}} = 3{,}102{,}000\ \mathrm{N\cdot mm/rad} = 3{,}102\ \mathrm{N\cdot m/rad}$
円板の慣性モーメント（中実の円板）
$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{D}^2}{8} = \dfrac{2.5 \times 0.4^2}{8} = 0.05\ \mathrm{kg\cdot m^2}$
固有角振動数（綱引きの回る版：k をねじりばね定数に、m を J に）
$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k_t}}{\htmlClass{q-material}{J}}} = \sqrt{\dfrac{3{,}102}{0.05}} = 249.1\ \mathrm{rad/s}$
固有振動数（1秒に何回ゆれるか）
$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}}{2\pi} = \dfrac{249.1}{2\pi} = 39.64\ \mathrm{Hz}$
固有周期（1往復にかかる時間）
$\htmlClass{q-flow}{T_n} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-flow}{f_n}} = \dfrac{1}{39.64} = 0.02522\ \mathrm{s}$

太い軸はねじりばね定数が大きく（3,102 N·m/rad）、1秒に約40回ゆれます。

G は √ の中なので、G が約3分の1になっても、振動数は約0.57倍にしかなりません。

モータの回転のむらが、この振動数に近いと、軸のねじれのゆれが大きくなります。くわしくは強制振動と共振の単元で扱います。

まず触ってみる

回る物も、ゆれる

綱引きの、回る版

戻す強さは、材料力学のねじれ角から

回しにくさ J は、円板の慣性モーメント

公式を、3つのかたまりに分けて読む

ねじり振り子の答え

太さが4倍で効く理由

どの数字がいちばん効く？

動かしてみよう

よくある勘違い

「太さを2倍にすれば、振動数も16倍」

「慣性モーメント J と、極断面二次モーメント J は同じもの」

「大きくねじると、1往復に時間がかかる」

この公式が使える条件

例題

例題1 実験用のねじり振り子

例題2 ゆれの周期から、回しにくさを測る

例題3 モータとファンをつなぐ軸

つながる単元

例題1　実験用のねじり振り子

例題2　ゆれの周期から、回しにくさを測る

例題3　モータとファンをつなぐ軸