同じ高さに上げるのでも、上げ方しだいでガツンと当たる変位線図（等速・単弦・サイクロイド）

部品を押し出すカムは、どう上げればいい？

工場の自動機では、カムがいろいろな部品を動かしています。たとえば、流れてくる部品を、棒で横へ押し出す機械です。カムが1回転するたびに、棒が1回、前へ出て戻ります。

棒が押す高さ（揚程）は 20 mm、カムが 120° 回る間に上げきります。カムは 30 min⁻¹ で回ります。上げきるまでの時間は、どの上げ方でも同じです。

上げ方は、いく通りもあります。一定の速さでまっすぐ上げる（等速）。円を回る点の影のように上げる（単弦）。転がる車輪の上の点のように上げる（サイクロイド）。

カムの角度を横軸に、従動節の変位（上がった高さ）を縦軸にとったグラフを、変位線図といいます。カムの形は、この線図で決まります。

3つの上げ方で、途中の速さがいちばん大きくなるのは、どれでしょうか。

予想してから読む同じ 20 mm を、同じ 120° の間に上げます。途中の最高の速さがいちばん大きいのは？

A等速B単弦Cサイクロイド

公式はこれ

カムが角度 $\scsBeta$ 回る間に、揚程 $\scsH$ だけ上げます。上がり始めからのカムの角度を $\phi$ とし、$u = \phi/\scsBeta$（0 から 1）と書きます。

1.57 は $\pi/2$、4.93 は $\pi^2/2$、6.28 は $2\pi$ です。

この単元のカム（20 mm・120°・30 min⁻¹）では、最高の速さは 30・47.1・60 mm/s、最大の加速度は 単弦 0.222 m/s²・サイクロイド 0.283 m/s² です。答えは、サイクロイドです。

エレベーターで考える

エレベーターに乗ると、動き出すときに体がぐっと沈み、止まるときにふわっと浮きます。一定の速さで動いている間は、何も感じません。

体が感じるのは、速さそのものではありません。速さが変わるときです。速さが1秒あたりどれだけ変わるかを、加速度といいます。加速度が大きいほど、体（従動節や、押される部品）は強く押されます。

この単元で使う決まりは、1つです。

線図の傾きが速さ。傾きの変わり方が加速度。

変位線図が急な坂のところでは、従動節が速く動いています。坂の傾きが急に変わるところでは、大きな加速度がかかっています。

3つの線図を作る

等速：まっすぐの坂

いちばん簡単なのは、まっすぐな坂です。120° の間、同じ速さで上げます。

$$y = \scsH\,u, \qquad \text{速さ} = \dfrac{\scsH}{\scsBeta}\,\skiOmega \ (\text{一定})$$

この単元のカムでは、上げきるのにかかる時間は、120° を 1秒に回る角度で割って、

$$t_{\scsBeta} = \dfrac{\scsBeta}{\skiOmega} = \dfrac{2.09}{3.14} = 0.667\ \mathrm{s}$$

速さは 20 mm ÷ 0.667 s = 30 mm/s です。この 30 mm/s を、3つの線図を比べる基準の速さ $\scsH\skiOmega/\scsBeta$ にします。

困るのは、坂の上り口と下り口です。止まっていた従動節が、一瞬で 30 mm/s になります。エレベーターなら、扉が閉まった瞬間に、いきなり全速で動き出すようなものです。速さが一瞬で変わるので、加速度は、理論上その瞬間だけ無限大です。実際の機械では、部品がたわんだり、すき間でぶつかったりして、ガツンと音がし、すり減ります。

単弦：円の影

坂の上り口と下り口を丸めます。前の単元 カムと従動節 で見た、円を回る点の影の動きを使います。直径 $\scsH$ の円を、カムが $\scsBeta$ 回る間に半回転させ、その影の高さを変位にします。

$$y = \dfrac{\scsH}{2}\,(1 - \cos \pi u)$$

速さは 0 から始まり、真ん中でいちばん大きくなり、0 で終わります。速さは飛びません。

ただし、加速度は飛びます。影の動きは、動き始めの瞬間から、いちばん大きな加速度で押されます。止まっていたときは加速度 0 なので、そこで 0 から 4.93 に飛びます。エレベーターなら、なめらかに動き出すものの、「ぐっ」と押される感じが、いきなり来ます。

サイクロイド：加速度を 0 から始める

加速度も 0 から始めたいなら、加速度の線図から作ります。加速度を、0 から始まって 0 で終わる、波1つ（sin の1周期）にします。前半で押して速さを増やし、後半で引いて速さを減らします。

$$\text{加速度} \propto \sin 2\pi u$$

この加速度を2回足し合わせる（積分する）と、変位は次の形になります。

$$y = \scsH\left(u - \dfrac{\sin 2\pi u}{2\pi}\right)$$

まっすぐの坂 $\scsH u$ から、小さな波を引いた形です。この曲線は、転がる車輪の縁の1点が描く線（サイクロイド）と同じ形なので、この名前があります。

なぜ 1 : 1.57 : 2 なのか

平均の速さは、どれも同じ

3つとも、同じ 20 mm を、同じ 0.667 s で上げます。だから、平均の速さは、どれも 30 mm/s です。

等速は、ずっと平均の速さのまま動きます。最高の速さも 30 mm/s です。

単弦とサイクロイドは、ゆっくり出て、ゆっくり止まります。出と止まりで遅れた分を、途中で速く動いて取り返します。だから、最高の速さが平均より大きくなります。

速さの線図の面積

速さの線図の面積（速さ × 時間の足し合わせ）は、上がった高さです。3つとも面積は同じです。

• 等速：高さ 1 の長方形。面積 1 × 1 = 1。
• 単弦：速さは半分の山の sin。山の面積は「高さ × 2/π」なので、面積を 1 にするには、高さは $\pi/2$ = 1.57。
• サイクロイド：速さは $1 - \cos 2\pi u$。平均が 1 で、0 から 2 まで動く山です。高さは 2。

同じ面積なら、裾の広がった山ほど、てっぺんが高くなります。これが 1 : 1.57 : 2 です。

数で確かめる

使う式を先に置いて、この単元のカムの数を入れます。基準の速さは 30 mm/s、基準の加速度は $\scsH\skiOmega^2/\scsBeta^2$ = 45 mm/s² です。

$$\text{単弦：}\ \scsVmax = 1.57 \times 30 = 47.1\ \mathrm{mm/s}, \qquad \scsAmax = 4.93 \times 45 = 222\ \mathrm{mm/s^2}$$ $$\text{サイクロイド：}\ \scsVmax = 2 \times 30 = 60\ \mathrm{mm/s}, \qquad \scsAmax = 6.28 \times 45 = 283\ \mathrm{mm/s^2}$$

最大の加速度は、サイクロイドのほうが 1.27倍大きくなります。それでも、サイクロイドは両端で加速度 0 なので、止まっている状態から、なめらかにつながります。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\scsAmax = \underbrace{6.28}_{\text{線図の形で決まる数}} \times \underbrace{\dfrac{\scsH\,\skiOmega^2}{\scsBeta^2}}_{\text{高さ ÷ 時間}^2}$$

1. 線図の形で決まる数　等速は無限大、単弦 4.93、サイクロイド 6.28。どんな大きさのカムでも同じです。
2. 高さ ÷ 時間²　上げきる時間 $t_{\scsBeta} = \scsBeta/\skiOmega$ を使うと $\scsH/t_{\scsBeta}^{\,2}$ です。同じ高さを半分の時間で上げると、加速度は4倍になります。

線図から、カムの形を作る

従動節の先にはローラ（小さな車）が付いています。カムの形は、ローラの中心が線図どおりに動くように決めます。

カムを回しても動かない、いちばん小さな円を基礎円といいます。カムを角度 $\phi$ 回したとき、ローラの中心は、カムの中心から「基礎円の半径 ＋ ローラの半径 ＋ 変位 $y$」の所にあります。この点をカムの上に1周ぶん並べた線（ピッチ曲線）から、ローラの半径だけ内側に入った線が、カムの輪郭です。

下のシミュレータでは、基礎円の半径 30 mm、ローラの半径 8 mm で、線図からカムの形を作って描いています。等速の線図では、上がり始めと上がり終わりに、輪郭の角が見えます。

どの数字がいちばん効く？

それぞれの数字を1割（10%）だけ変えたとき、最高の速さと最大の加速度がどう変わるかを並べます。線図の種類は、どれでも同じ割合です。

加速度には、回転数と角度が2乗で効きます。加速度を小さくしたいなら、上げる角度 $\scsBeta$ を広くとるのが、いちばん効きます。

自動機に戻る

自動機のカムは、もっと速く回ります。数は仮に決めたものです。同じカム（20 mm・120°）を 300 min⁻¹ で回すと、角速度は10倍の 31.4 rad/s です。

$$\scsAmax = 6.28 \times \dfrac{0.020 \times 31.4^2}{2.09^2} = 28.3\ \mathrm{m/s^2}$$

重力加速度（9.81 m/s²）の約3倍です。回転数を10倍にしたので、加速度は 10² = 100倍です。

この速さで、等速の線図を使うと、1回ごとにガツンと当たります。単弦は速さが飛ばないので、ずっと静かです。それでも、加速度の飛ぶ両端で、部品が小さく揺さぶられます。サイクロイドは加速度が飛ばないので、速く回す機械に向いています。

動かしてみよう

線図の種類のボタン（等速・単弦・サイクロイド）を切り替えると、カムの形と、下の3つの線図の太い線が変わります。点は、いまのカムの角度です。

速さの線図で、山の高さ 1・1.57・2 を見比べてください。加速度の線図では、単弦が両端で縦に飛び、サイクロイドが 0 から始まるのが分かります。

下の3つの線図の縦軸は、揚程・基準の速さ・基準の加速度で割った値です。揚程や回転数を変えても、線図の形は変わりません。実際の数字は、答えの欄で変わります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1線図の種類を「等速」にする。速さの線図の両端で、線がどう変わるかを見る（まだ）
2. 2「サイクロイド」にする。答えの欄の最高の速さを、単弦のときの 47.1 mm/s と比べる（まだ）
3. 3サイクロイドのまま、上げる角度 β を半分の 60° にする。加速度の線図の両端と、最大の加速度を見る（まだ）

線図線図の種類

等速単弦サイクロイド

h揚程（持ち上がる高さ）−mm＋

β上げる間にカムが回る角度−°＋

N原動節の回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる従動節の最高の速さは、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{h}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}}{\htmlClass{q-displacement}{\beta}}$$$$= 1.57 \times 30$$$$= 47.1\ \mathrm{mm/s}$$

従動節の最高の速さ

$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = 47.1\ \mathrm{mm/s}$

従動節の最大の加速度

$\htmlClass{q-flow}{a_{\max}} = 0.222\ \mathrm{m/s^2}$

上げるのにかかる時間

$\htmlClass{q-flow}{t_{\beta}} = 0.667\ \mathrm{s}$

途中の計算（導出）を見る

1. カムの角速度と、β 回るのにかかる時間

   $$\htmlClass{q-flow}{t_{\beta}} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{\beta}}{\htmlClass{q-flow}{\omega}} = \dfrac{2.09\ \mathrm{rad}\ (120^{\circ})}{3.14\ \mathrm{rad/s}} = 0.667\ \mathrm{s}$$

2. 同じ時間で一定の速さで上げたときの速さ（基準の速さ）

   $$\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{h}}{\htmlClass{q-flow}{t_{\beta}}} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{h}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}}{\htmlClass{q-displacement}{\beta}} = \dfrac{20}{0.667} = 30\ \mathrm{mm/s}$$

3. 最高の速さ（単弦の係数をかける）

   $$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{h}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}}{\htmlClass{q-displacement}{\beta}} = 1.57 \times 30 = 47.1\ \mathrm{mm/s}$$

4. 最大の加速度（単弦の係数をかける）

   $$\htmlClass{q-flow}{a_{\max}} = \dfrac{\pi^2}{2} \times \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{h}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}^2}{\htmlClass{q-displacement}{\beta}^2} = 4.93 \times 45\ \mathrm{mm/s^2} = 0.222\ \mathrm{m/s^2}$$

よくある勘違い

「最高の速さがいちばん小さい等速が、いちばんやさしい」

従動節や部品が強く押されるかどうかは、速さではなく加速度で決まります。

「最大の加速度が小さい単弦は、サイクロイドより静か」

単弦の最大の加速度 4.93 は、サイクロイドの 6.28 より小さい値です。でも、単弦の加速度は、動き始めの瞬間に、0 からいきなり 4.93 まで飛びます。速く回すと、この飛びが揺れを起こします。比べるときは、最大の値だけでなく、両端で飛ぶかどうかも見ます。

この公式が使える条件

• カムは一定の速さで回る
• 従動節は、カムの中心の真上をまっすぐ上下に動き、いつもカムに接している（ばねで押し付けている）
• 1回転の中で、上がる（$\scsBeta$）・上で止まる・下がる（$\scsBeta$）・下で止まる、の順に動く。シミュレータでは、上で止まるのは 180° まで（$\scsBeta$ ≤ 180°）
• 部品の伸び縮みや、すき間は考えない。等速の「無限大」は、この前提での理論上の値

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

角度から時間へ：カムは一定の角速度 $\skiOmega$ で回るので、$u = \phi/\scsBeta = \skiOmega t/\scsBeta$ です。変位を $y = \scsH\,f(u)$ と書くと、

$$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{\scsH\skiOmega}{\scsBeta}\,f'(u), \qquad \dfrac{d^2y}{dt^2} = \dfrac{\scsH\skiOmega^2}{\scsBeta^2}\,f''(u)$$

最高の速さと最大の加速度は、$f'$ と $f''$ の最大値（線図の形で決まる数）に、基準の値をかけたものです。

等速：$f = u$、$f' = 1$、$f'' = 0$（区間の中）。両端で $f'$ が 0 と 1 の間を飛ぶので、そこで $f''$ は無限大です。

単弦：$f = \tfrac12(1 - \cos\pi u)$、$f' = \tfrac{\pi}{2}\sin\pi u$（最大 $\pi/2$、$u = 1/2$）、$f'' = \tfrac{\pi^2}{2}\cos\pi u$（最大 $\pi^2/2$、$u = 0$ と 1）。

サイクロイド：$f = u - \tfrac{1}{2\pi}\sin 2\pi u$、$f' = 1 - \cos 2\pi u$（最大 2、$u = 1/2$）、$f'' = 2\pi\sin 2\pi u$（最大 $2\pi$、$u = 1/4$。$u = 0$ と 1 で 0）。

別の方法で確かめる：このサイトのテストでは、3つの変位の式を数値で微分して、速さと加速度の式と一致することを確かめました。また、速さの線図を細かく足し合わせると、どれも上がった高さ 1 になること、最大の値を数値で探すと 1.57・2・4.93・6.28 になることも確かめています。