回しつづけても、4分の3は止まっているゼネバ機構（間欠運動）

映写機のフィルムは、どうやって1こまずつ止まる？

映画のフィルムは、少しずつ違う写真が、帯の上にずらりと並んだものです。1枚1枚を「こま」といいます。

映写機は、このこまを1枚ずつスクリーンに映します。音の入った映画では、1秒に 24こまです。

ここで大事なのは、映している間、こまが止まっていることです。動いたまま映すと、絵が流れてぶれます。パラパラ漫画も、1枚ずつ止まって見えるから、動いて見えます。

フィルムを「進めて、止めて、進めて、止めて」と送る。しかも1秒に24回。モータは一定の速さで回り続けているのに、どうすれば、そんな動きが作れるのでしょうか。

答えの1つが、ゼネバ機構です。一定の速さで回る原動車（ピンの付いた円板）が、溝の付いた従動車を、溝1つぶんずつ回しては止めます。このように、動いては止まる動きを間欠運動といいます。

溝が4つのゼネバ機構で、原動車が1回転する間、従動車は、原動車がどれだけ回る間、動いているでしょうか。

予想してから読む溝が4つのゼネバ機構。原動車の1回転（360°）のうち、従動車が動いているのは、原動車が何度回る間？

A360°（ずっと少しずつ動く）B180°（半分）C90°（4分の1）

公式はこれ

$$\sgvMove = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{\sgvN}, \qquad \sgvIndex = \dfrac{360^{\circ}}{\sgvN}, \qquad \sgvR = \sgvC\sin\dfrac{180^{\circ}}{\sgvN}$$

答えは 90° です。原動車が 90° 回る間だけ従動車が動き、残りの 270° は止まっています。

この式は、ピンが溝に入る瞬間の形から出てきます。

ピンが溝に入っている間だけ回る

ピンは、円を描くことしかできない

原動車のピンは、原動車の中心 O₁ から、いつも同じ距離 $\sgvR$ の所にあります。長さの決まった棒の先と同じで、ピンは O₁ のまわりに円を描くことしかできません。4節リンク（グラスホフの条件） で使った「コンパスの交点」の考え方です。

従動車の溝は、従動車の中心 O₂ から、まっすぐ外へ向かって切ってあります。ピンが溝に入っている間、溝はいつも「O₂ とピンを結ぶ線」の上にあります。だから、従動車の向きは、O₂ からピンへ引いた線の向きで決まります。

ピンが円を回ると、この線の向きが変わり、従動車が回ります。ピンが溝から出ると、従動車を押すものが無くなり、止まります。

滑らかに入るのは、円が溝の線に接するとき

ピンが溝に入る瞬間、ピンが溝の壁にぶつかると、ガツンと衝撃が出ます。ぶつからずに入るには、入る瞬間のピンの進む向きが、溝の向きにそろっていればよいのです。

ピンは円の上を動くので、進む向きは円の接線の向きです。それが溝の線（O₂ からピンへの線）と重なるのは、溝の線が、ピンの円に接するときです。

円の接線は、半径と直角に交わります。だから、入る瞬間、O₁・ピン・O₂ の3点は、ピンの所が直角の直角三角形になります。

$$\underbrace{\sgvR}_{\text{O₁ からピン}} = \underbrace{\sgvC}_{\text{斜辺 O₁O₂}} \times \sin\underbrace{\dfrac{180^{\circ}}{\sgvN}}_{\text{O₂ での角}}$$

O₂ での角が $180^{\circ}/\sgvN$ なのは、溝が $360^{\circ}/\sgvN$ おきに並んでいて、止まっているとき、入ってくる溝は中心線から、その半分だけ傾いているからです。

動いている間の角度を数える

三角形の残りの角、O₁ での角は $90^{\circ} - 180^{\circ}/\sgvN$ です。ピンは、中心線の手前でこの角度の所で溝に入り、中心線を通り過ぎて、反対側の同じ角度の所で溝から出ます。

$$\sgvMove = 2 \times \left(90^{\circ} - \dfrac{180^{\circ}}{\sgvN}\right) = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{\sgvN}$$

その間に、従動車は溝1つぶん、$\sgvIndex = 360^{\circ}/\sgvN$ 回ります。入るとき中心線から $180^{\circ}/\sgvN$ 傾いていた溝が、出るときには反対側へ同じだけ傾くからです。

数で確かめる

溝が4つ、中心距離 100 mm で、使う式に数を入れます。

$$\sgvR = \sgvC\sin\dfrac{180^{\circ}}{\sgvN} = 100 \times \sin 45^{\circ} = 70.7\ \mathrm{mm}$$ $$\sgvMove = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{4} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$

原動車の1回転 360° のうち、動くのは 90°、止まっているのは 360° − 90° = 270° です。1回に進むのは 360° ÷ 4 = 90° で、原動車が4回転すると、従動車がちょうど1回転します。

溝を6つにすると

同じ式に、$\sgvN = 6$ を入れます。

$$\sgvMove = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{6} = 120^{\circ}, \qquad \sgvIndex = \dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$$

動く間は 90° から 120° に長くなり、1回に進む角度は 90° から 60° に小さくなります。止まっているのは 240° です。

ピンの回る半径は $100 \times \sin 30^{\circ} = 50\ \mathrm{mm}$ で、中心距離のちょうど半分です。

溝を増やすほど、動く間は 180° に近づきます。ピンが O₂ の側を通る半周の間、ほとんどずっと溝に入っているようになるからです。その代わり、1回に進む角度は小さくなります。

どの行にも、中心距離 $\sgvC$ は出てきません。角度は溝の数だけで決まり、中心距離は機構の大きさを決めるだけです。

いちばん速いのは中ほど

従動車の角度の式

ピンが溝に入っている間の、従動車の角度 $\sgvBeta$ を、原動車の角度 $\skiTheta$ で書きます。どちらも、中心線から測ります。ピンの位置から、O₂ からピンへの線の傾きを出すと、次の式になります（導き方は、最後の「くわしく」で）。

$$\tan\sgvBeta = \dfrac{\lambda\sin\skiTheta}{1 - \lambda\cos\skiTheta}, \qquad \lambda = \dfrac{\sgvR}{\sgvC} = \sin\dfrac{180^{\circ}}{\sgvN}$$

溝が4つのとき、原動車の角度ごとに計算すると、次のとおりです。

原動車が −15° から +15° までの 30° を回る間に、従動車は 90° のうち 60° を進みます。入口と出口の近くでは、ほとんど進みません。

速さの比

いちばん速いのは、ピンが中心線の上に来たとき（$\skiTheta = 0^{\circ}$）です。このとき、ピンは O₂ にいちばん近く、距離は $\sgvC - \sgvR$ です。ピンの速さは同じでも、中心に近い所を押すほど、従動車は速く回ります。

$$\sgvWmax = \dfrac{\sgvR}{\sgvC - \sgvR} = \dfrac{70.7}{100 - 70.7} = 2.41$$

溝が4つなら、いちばん速いとき、従動車は原動車の 2.41倍の角速度で回ります。動いている間の平均は、90° を 90° の間に進むので1倍です。中ほどで、平均の2倍以上に速まっているのです。

反対に、入る瞬間と出る瞬間は、従動車の角速度は 0 です。ピンの進む向きが溝の向きにそろっていて、従動車を回す向きの成分が無いからです。止まった状態から、ゆっくり動き出し、ゆっくり止まります。

溝が6つなら、いちばん速いときも $50/(100 - 50) = 1$ 倍で、溝4つより穏やかです。

どの数字がいちばん効く？

溝の数・中心距離・回転数を変えると、何が変わるかを並べます。

動き方の形を決めるのは、溝の数だけです。中心距離は大きさを、回転数は速さを決めます。

映写機に戻る

フィルムの映写機では、溝が4つのゼネバ機構が広く使われてきました。従動車の軸には、フィルムの送り穴にかみ合う歯車（スプロケット）が付いています。35 mm のフィルムは、1こまの両側に送り穴が4つずつ並ぶのが標準です。歯が16枚のスプロケットなら、従動車が4分の1回転（90°）するたびに歯4枚ぶん、つまり1こま進みます。

1秒に24こまなら、原動車は1秒に24回転、つまり 1,440 min⁻¹ で回ります。1こまの時間は 1 ÷ 24 = 0.0417 s、41.7 ms です。

$$\sgvTm = \dfrac{\sgvMove}{360^{\circ}} \times \dfrac{1}{24}\ \mathrm{s} = \dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 41.7\ \mathrm{ms} = 10.4\ \mathrm{ms}$$

フィルムが動いているのは 10.4 ms、止まっているのは 31.3 ms です。1こまの時間の4分の3、こまは止まって映されています。

動かしてみよう

原動車（朱の腕とピン）は、一定の回転数で回ります。ピンが朱の弧の範囲に入ると、青の従動車が回り出し、弧を出ると止まります。下の波形は、従動車が回った角度です。動いては止まる、階段の形になります。

溝の数 $\sgvN$ を変えると、階段の段の高さ（1回に進む角度）と、段の上がる幅（動いている時間）が変わります。いちばん下のグラフは、従動車の角速度が原動車の何倍かを、原動車の角度ごとに描いたものです。中ほどで山になるのを確かめてください。

「いまの図を残して比べる」を押してから溝の数を変えると、残した図の波形が薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1溝の数 n を 6 にして、従動車が動いている間と、1回に進む角度を見る（まだ）
2. 2溝の数 n を 8 にする（中心距離 C は 100 mm のまま）。動いている角度と、下のグラフの山の高さを見る（まだ）
3. 3溝の数を 4 に戻し、中心距離 C を 140 mm にする。動く角度・止まる角度が変わるかを見る（まだ）

n溝の数−＋

C中心距離（原動車と従動車の軸の間）−mm＋

N原動節の回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる動く間の原動車の角度は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\theta_m} = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{\htmlClass{q-geometry}{n}}$$$$= 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{4}$$$$= 90^{\circ}$$

動く間の原動車の角度

$\htmlClass{q-displacement}{\theta_m} = 90^{\circ}$

止まっている間の原動車の角度

$\htmlClass{q-displacement}{\theta_d} = 270^{\circ}$

1回に進む角度

$\htmlClass{q-displacement}{\Delta\beta} = 90^{\circ}$

ピンの回る半径（原動車の中心からピンまで）

$\htmlClass{q-geometry}{R} = 70.71\ \mathrm{mm}$

従動車の半径（溝の入口まで）

$\htmlClass{q-geometry}{R_w} = 70.71\ \mathrm{mm}$

いちばん速いときの角速度の比

$\htmlClass{q-flow}{(\omega_2/\omega)_{\max}} = 2.41\$

1回に動いている時間

$\htmlClass{q-flow}{t_m} = 0.5\ \mathrm{s}$

途中の計算（導出）を見る

1. ピンの回る半径（ピンの円が、溝の中心線に接する）

   $$\htmlClass{q-geometry}{R} = \htmlClass{q-geometry}{C}\sin\dfrac{180^{\circ}}{\htmlClass{q-geometry}{n}} = 100 \times \sin\dfrac{180^{\circ}}{4} = 70.71\ \mathrm{mm}$$

2. 動く間の原動車の角度（360° の残りが、止まっている角度）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\theta_m} = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{\htmlClass{q-geometry}{n}} = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$$

3. 1回に進む角度（溝1つぶん）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\Delta\beta} = \dfrac{360^{\circ}}{\htmlClass{q-geometry}{n}} = \dfrac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$$

4. いちばん速いとき（中ほど）の、従動車と原動車の角速度の比

   $$\htmlClass{q-flow}{(\omega_2/\omega)_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{R}}{\htmlClass{q-geometry}{C} - \htmlClass{q-geometry}{R}} = \dfrac{70.71}{100 - 70.71} = 2.41$$

5. 1回に動いている時間

   $$\htmlClass{q-flow}{t_m} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{\theta_m}}{360^{\circ}} \times \dfrac{60}{\htmlClass{q-flow}{N}} = \dfrac{90}{360} \times \dfrac{60}{30} = 0.5\ \mathrm{s}$$

よくある勘違い

「溝を増やすほど、フィルムを速く送れる」

溝を増やすと、動く間は長くなりますが、1回に進む角度は小さくなります。

送る速さを上げるには、原動車の回転数を上げます。溝の数は、1回に進む角度と、止まっている時間の割合を決めます。

「止まっている間、従動車は自由に回ってしまう」

回りません。原動車には、ピンのほかに、円板（止めるための円板）が付いています。止まっている間は、この円板の丸い縁が、従動車の凹みにぴったり入っていて、従動車が勝手に回るのを止めています。円板には、ピンの側に切り欠きがあり、ピンが従動車を回す間だけ、従動車が回れるようになっています。

「中心距離を変えると、動く角度も変わる」

変わりません。中心距離を変えたら、ピンの回る半径も $\sgvR = \sgvC\sin(180^{\circ}/\sgvN)$ に合わせて変えるからです。三角形の形が同じなので、角度も同じです。ピンの回る半径を、この式からずらすと、ピンが溝に斜めに入り、ガツンと当たります。

この公式が使える条件

• 外ゼネバ（ピンの付いた原動車が、従動車の外にある形）。溝は、従動車の中心からまっすぐ外へ切ってある
• ピンの回る半径が $\sgvR = \sgvC\sin(180^{\circ}/\sgvN)$（ピンが溝に滑らかに入る）
• 原動車は、一定の回転数で回る
• ピンの太さ・溝とのすき間・部品のたわみは考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

従動車の角度：O₁ を原点、O₂ を中心線の上の距離 $\sgvC$ の所に置きます。原動車の角度 $\skiTheta$ のとき、ピンは中心線から $\sgvR\sin\skiTheta$ の高さにあり、O₂ からは、中心線に沿って $\sgvC - \sgvR\cos\skiTheta$ 離れています。O₂ からピンへの線が中心線となす角が $\sgvBeta$ なので、

$$\tan\sgvBeta = \dfrac{\sgvR\sin\skiTheta}{\sgvC - \sgvR\cos\skiTheta} = \dfrac{\lambda\sin\skiTheta}{1 - \lambda\cos\skiTheta}$$

分母と分子を $\sgvC$ で割ったのが右の形です。入る瞬間 $\skiTheta = -(90^{\circ} - 180^{\circ}/\sgvN)$ を入れると、$\sgvBeta = -180^{\circ}/\sgvN$ になります（溝4つなら −45° と −45°）。

角速度の比：上の式を $\skiTheta$ で微分して整理すると、

$$\dfrac{\sgvOmegaTwo}{\skiOmega} = \dfrac{d\sgvBeta}{d\skiTheta} = \dfrac{\lambda(\cos\skiTheta - \lambda)}{1 - 2\lambda\cos\skiTheta + \lambda^2}$$

入る瞬間は $\cos\skiTheta = \sin(180^{\circ}/\sgvN) = \lambda$ なので、分子が 0 になります。滑らかに入る条件が、角速度 0 で動き出すことと同じだと分かります。$\skiTheta = 0$ では、分母が $(1 - \lambda)^2$、分子が $\lambda(1 - \lambda)$ になり、$\lambda/(1 - \lambda) = \sgvR/(\sgvC - \sgvR)$ です。

確かめ：この比を、溝に入っている間で足し合わせる（積分する）と、従動車が1回に進む角度 $360^{\circ}/\sgvN$ に戻ります。このサイトの計算では、閉じた式・ピンの位置から測った角度・数値微分・数値積分の4つが一致することを確かめています。