動く棒にも、その瞬間の回転の中心がある瞬間中心と速度比

ワイパーは、端で一度止まる

雨の日のワイパーを、よく見てみます。窓の真ん中あたりでは速く動き、端に近づくと遅くなって、一瞬止まってから戻ります。

ワイパーを動かすのは、4節リンク（グラスホフの条件） で見た4節リンクです。モータに付いたクランク 40 mm、連接棒 120 mm、ワイパーの軸に付いたてこ 80 mm、2つの軸の間の固定節 100 mm です。

モータは、クランクを一定の速さで回しています。それなのに、てこの速さは、速くなったり遅くなったりします。

クランク角（固定節の向きから、反時計回りに測った角度）が 150° の瞬間、てこはクランクの何倍の角速度で回っているでしょうか。そして、てこが止まるのは、どんな瞬間でしょうか。

予想してから読むクランクを一定の速さで回しています。クランクと連接棒が一直線に並んだ瞬間、てこの速さは？

Aいちばん速いBクランクの先と同じ速さC0（止まっている）

公式はこれ

$$\dfrac{\sscWc}{\skiOmega} = \dfrac{\sysA}{\sscIA} \times \dfrac{\sscIB}{\sysC}$$ $$\dfrac{\sscWc}{\skiOmega} = \dfrac{40}{187.2} \times \dfrac{158.5}{80} = 0.214 \times 1.98 = 0.424$$

この瞬間、てこは、クランクの 0.424 倍の角速度で回っています。

この式は、どこから来るのでしょうか。

連接棒は、瞬間中心のまわりを回る

円の上の点は、半径に直角に動く

コンパスで円を描くと、鉛筆の先は、いつも針と鉛筆を結ぶ線に直角の向きへ進みます。長さの決まった棒の先は、円の上しか動けないからです。

4節リンクでも同じです。クランクの先 A は、O2 のまわりの円の上を動きます。だから A は、その瞬間、クランクに直角の向きに動きます。てこの先 B も、O4 のまわりの円の上を動くので、てこに直角の向きに動きます。

2つの「直角」から、回る中心が決まる

連接棒は、A と B を両端に持つ1本の棒です。棒がある点 I のまわりを回るとき、棒の上のどの点も、I と結んだ線に直角の向きに動きます。

A はクランクに直角に動くので、I は、A を通るクランクの直線の上にあります。B はてこに直角に動くので、I は、B を通るてこの直線の上にもあります。

だから I は、クランクの延長線と、てこの延長線の交点です。連接棒は、この瞬間だけ、I にピンで留められた棒のように回っています。I を瞬間中心といいます。

壁に立てかけたはしごが、すべり落ちる場面でも同じです。上の端は壁に沿って真下へ、下の端は床に沿って横へ動きます。それぞれの向きに直角な線を引くと、2本の交点が、はしごのその瞬間の回る中心です。

転がる自転車の車輪では、地面に触れている点が、その瞬間は止まっています。車輪は、その点のまわりを回っています。だから、地面から遠い上の端ほど、速く進みます。瞬間中心は、次の瞬間には別の点に移ります。

速さを、瞬間中心を通して渡す

クランクの角速度を $\skiOmega$ とすると、A の速さは $\skiOmega\,\sysA$ です。

連接棒は I のまわりを回っているので、A の速さは「連接棒の角速度 $\sscWb$ × $\sscIA$」とも書けます。

$$\skiOmega\,\sysA = \sscWb\,\sscIA \quad\Longrightarrow\quad \sscWb = \skiOmega\,\dfrac{\sysA}{\sscIA}$$

同じ $\sscWb$ で、B の速さは $\sscWb\,\sscIB$ です。B はてこの先でもあるので、B の速さは $\sscWc\,\sysC$ とも書けます。

$$\sscWc\,\sysC = \sscWb\,\sscIB \quad\Longrightarrow\quad \sscWc = \sscWb\,\dfrac{\sscIB}{\sysC}$$

2つの式をつなぐと、$\sscWb$ が消えます。

$$\dfrac{\sscWc}{\skiOmega} = \underbrace{\dfrac{\sysA}{\sscIA}}_{\text{A から I へ}} \times \underbrace{\dfrac{\sscIB}{\sysC}}_{\text{I から B へ}}$$

前のかたまりは「クランクの回りを、連接棒の回りに直す比」、後ろのかたまりは「連接棒の回りを、てこの回りに直す比」です。てこの角速度 ÷ クランクの角速度を、ここでは速比と呼びます。

数で確かめる

クランクを毎分 30 回転で回すとします。角速度は $\skiOmega = 2\pi \times 30/60 = 3.14\ \mathrm{rad/s}$ です。クランク角 150° の瞬間を、順に計算します。

$$v_A = \skiOmega\,\sysA = 3.14 \times 40 = 126\ \mathrm{mm/s}$$ $$\sscWb = \dfrac{v_A}{\sscIA} = \dfrac{126}{187.2} = 0.671\ \mathrm{rad/s}$$

回転数に直すと、毎分 6.4 回転です。

$$v_B = \sscWb\,\sscIB = 0.671 \times 158.5 = 106\ \mathrm{mm/s}$$ $$\sscWc = \dfrac{v_B}{\sysC} = \dfrac{106}{80} = 1.33\ \mathrm{rad/s}$$

1.33 ÷ 3.14 = 0.424 で、公式と同じです。てこの角速度 1.33 rad/s は、回転数にすると毎分 12.7 回転の速さです。

別の方法で確かめる

クランクを、149.5° から 150.5° まで、1° だけ回してみます。2つの姿勢で、てこの角度を2つの円の交点から出して、差をとると 0.4235° です。クランクが 1° 回る間に、てこは 0.424° 回る。瞬間中心から出した速比と、同じです。

てこが止まる瞬間

クランクと連接棒が、一直線に並ぶ瞬間を考えます。4節リンク（グラスホフの条件） で見た、振れの両端の姿勢です。伸びきるのはクランク角 24.1°、重なるのは 231.3° のときです。

このとき、クランクの延長線は、連接棒に沿って、そのままてこの先 B を通ります。てこの延長線も、もちろん B を通ります。2本の交点、つまり瞬間中心は、B そのものです。

$$\sscIB = 0 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\sscWc}{\skiOmega} = \dfrac{\sysA}{\sscIA} \times \dfrac{0}{\sysC} = 0$$

クランクは回り続けているのに、てこはこの瞬間、止まっています。そこで向きを変えて、戻り始めます。ワイパーが窓の端で一瞬止まるのは、このためです。

ブランコが、いちばん高いところで一瞬止まるのと同じです。往復する物は、向きを変える瞬間、必ず速さが 0 になります。4節リンクでは、それがクランクと連接棒が一直線に並ぶ瞬間です。

瞬間中心が、遠くへ飛ぶとき

クランクの延長線と、てこの延長線が、平行に近くなることがあります。ワイパーの4節リンクでは、クランク角 69.5° と 294.6° のときです。2本の線の交点は、とても遠くへ飛びます。

瞬間中心が遠いほど、$\sscIA$ と $\sscIB$ は、ほとんど同じ長さになります。$\sscIB / \sscIA$ は 1 に近づき、速比は $\sysA / \sysC = 40/80 = 0.5$ に近づきます。

ちょうど平行のとき、連接棒は回らずに、平行に動いています。A と B は同じ速さで動き、$\skiOmega\,\sysA = \sscWc\,\sysC$ です。この瞬間、速比はちょうど 0.5 です。

速さの比の逆が、力の比

トグル機構（小さな力で大きな力） では、「入れた仕事＝出た仕事（摩擦なし）。少ししか動かない側には、大きな力が出る」というてんびんの決まりに名前を付けました。4節リンクにも、そのまま当てはまります。

クランク角 150° では、てこはクランクの 0.424 倍しか回りません。同じ時間に、クランクのトルク × 回った角度 ＝ てこのトルク × 回った角度 なので、てこのトルクは、クランクのトルクの 1 ÷ 0.424 ≒ 2.36 倍です。

てこが止まる瞬間に近づくほど、速比は 0 に近づき、てこのトルクは大きくなります。トグル機構は、この性質を使って、小さな力で大きな力を出します。

どの数字がいちばん効く？

クランク角 150° のまま、1本ずつ長さを10%だけ長くしたとき、速比がどう変わるかを調べました。

いちばん効くのはクランクです。公式の分子の $\sysA$ がそのまま大きくなり、同時に瞬間中心の位置も変わるからです。てこは分母にあるので、長くすると遅くなります。

ワイパーに戻る

クランクを1回転させながら、速比を追いかけると、次のようになります。

ワイパーは、端で速さが 0 になり、そこからなめらかに速くなります。いきなり向きを変えるわけではないので、ブレードや軸に、急な衝撃がかかりません。

帰りのほうが速くなるのは、帰りの間にクランクが回る角度が、行きより小さいからです（152.8° と 207.2°）。

動かしてみよう

クランク角 $\skiTheta$ を変えると、その瞬間の姿で、4節リンクが止まって出ます。朱の破線がクランクの延長線、青の破線がてこの延長線、黒い丸が瞬間中心 I です。

「▶ 自動で動かす」を押すと、クランクが回り続けます。瞬間中心 I が動き、図の外へ飛んで、反対側から戻ってくるのが見えます。

A と B の青い矢印は、それぞれの速さです。A の矢印の長さは一定で、B の矢印は、速比に合わせて伸び縮みします。

瞬間中心が図の外へ出ると、図の端に、I のある向きの矢印が出ます。回転数 $\skiN$ を変えても、速比は変わりません。てこの角速度だけが変わります。

下の4本の長さ $\sysA$〜$\sysD$ は、はじめはワイパーの寸法（40・120・80・100 mm）です。クランク $\sysA$ を長くすると、同じ角度でも瞬間中心の位置と速比が変わります。長さによっては、ある角度で組めなくなり、図に2つの円が交わらない様子が出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1クランク角 θ を 70° にする。2本の延長線（破線）がどこで交わるか、図の端の I の印を見る（まだ）
2. 2クランク角 θ を 339° にする。左下の IA・IB と、速比 ωc/ω を見る（まだ）
3. 3クランク角 θ を 24° にする。I の位置と、B の速さの矢印を見る（まだ）

θ原動節の角度（クランク角）−°＋

aクランクの長さ−mm＋

b連接棒の長さ−mm＋

cてこの長さ−mm＋

d固定節の長さ（支点の間）−mm＋

N原動節の回転数−min⁻¹＋

▶ 自動で動かす

いまの図を残して比べる速比（てこの角速度 ÷ クランクの角速度）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-flow}{\omega_c/\omega} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{a}}{\htmlClass{q-geometry}{\overline{IA}}} \times \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{\overline{IB}}}{\htmlClass{q-geometry}{c}}$$$$= \dfrac{40}{187.2} \times \dfrac{158.5}{80}$$$$= 0.424$$

速比（てこの角速度 ÷ クランクの角速度）

$\htmlClass{q-flow}{\omega_c/\omega} = 0.424\$

てこの角速度

$\htmlClass{q-flow}{\omega_c} = 1.33\ \mathrm{rad/s}$

瞬間中心からクランクの先 A までの距離

$\htmlClass{q-geometry}{\overline{IA}} = 187.2\ \mathrm{mm}$

瞬間中心からてこの先 B までの距離

$\htmlClass{q-geometry}{\overline{IB}} = 158.5\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 瞬間中心 I（クランクの延長線と、てこの延長線の交点）の位置。O2 を原点、固定節の向きを x として

   $$\htmlClass{q-geometry}{I} = (127.5,\ -73.58)\ \mathrm{mm} = \text{O2 から}\ 147.2\ \mathrm{mm}$$

2. クランクの先 A の速さを、瞬間中心までの距離で割ると、連接棒の角速度

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_b} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega}\,\htmlClass{q-geometry}{a}}{\htmlClass{q-geometry}{\overline{IA}}} = \dfrac{3.14 \times 40}{187.2} = 0.671\ \mathrm{rad/s}$$

3. 連接棒の角速度に、瞬間中心から B までの距離を掛けると B の速さ。てこの長さで割ると、てこの角速度

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_c} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_b}\,\htmlClass{q-geometry}{\overline{IB}}}{\htmlClass{q-geometry}{c}} = \dfrac{0.671 \times 158.5}{80} = 1.33\ \mathrm{rad/s}\ (12.7\ \mathrm{min^{-1}}\ \text{の速さ})$$

4. 速比（てこの角速度 ÷ クランクの角速度）は、距離の比だけで決まる

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_c/\omega} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{a}}{\htmlClass{q-geometry}{\overline{IA}}} \times \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{\overline{IB}}}{\htmlClass{q-geometry}{c}} = \dfrac{40}{187.2} \times \dfrac{158.5}{80} = 0.424$$

よくある勘違い

「瞬間中心は、連接棒の決まった点」

瞬間中心は、クランク角が変わるたびに、別の場所へ動きます。図の外へ飛ぶこともあります。ピンで留めた支点ではありません。

「てこが止まっている瞬間は、クランクも止まっている」

クランクは、一定の速さで回り続けています。止まるのは、てこだけです。クランクの先 A は、その瞬間、連接棒に沿って B のまわりを回るように動いていて、B を押していません。

「速さが 0 の瞬間は、力もかかっていない」

てこが止まる瞬間は、向きを変える瞬間です。速さが 0 でも、戻る向きの加速度があります。てんびんの決まりで見ると、その近くでは、てこはむしろ大きな力を出せます。

この考え方が使える条件

• 節は、どれも長さが変わらない（曲がったり、伸びたりしない）
• 4つの対偶は、どれもピンで回る回り対偶。すき間やがたは無い
• 4本は同じ平面の中で動く
• 力の比（てんびん）を使うときは、摩擦が無く、部品の質量による力（慣性力）も考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

座標で書く：O2 を原点、固定節の向きを x とします。クランクの先は $A = \sysA(\cos\skiTheta, \sin\skiTheta)$、てこの先は $B = O_4 + \sysC(\cos\phi, \sin\phi)$ です。A の速度は、クランクに直角で、大きさ $\skiOmega\,\sysA$ です。

瞬間中心の位置：I は、O2 から A の向きに伸ばした直線と、O4 から B の向きに伸ばした直線の交点です。$I = s\,\overrightarrow{O_2A} = \overrightarrow{O_2O_4} + t\,\overrightarrow{O_4B}$ と置いて、2つの成分の式から $s$ と $t$ を解きます。

角速度の比（符号つき）：連接棒の上の点の速度は、I のまわりの回転で書けます。A の速度を、クランクの回転と、I のまわりの回転の2通りで書いて比べると、$\sscWb = \skiOmega/(1 - s)$。B でも同じようにして、$\sscWc = \sscWb(1 - t)$。まとめると

$$\dfrac{\sscWc}{\skiOmega} = \dfrac{1 - t}{1 - s}$$

で、大きさは本文の $(\sysA/\sscIA)(\sscIB/\sysC)$ と同じです（$\sscIA = |1 - s|\,\sysA$、$\sscIB = |1 - t|\,\sysC$）。

瞬間中心を使わない式：連接棒の長さが変わらないことから、A と B の速度の、連接棒の向きの成分は等しくなります。連接棒の角度を $\psi$ とすると、

$$\skiOmega\,\sysA\sin(\skiTheta - \psi) = \sscWc\,\sysC\sin(\phi - \psi)$$

です。クランク角 150° では、どちらの式でも 0.424 になります。平行のとき（I が無限に遠い）も、この式なら、そのまま 0.5 が出ます。

止まる瞬間：クランクと連接棒が一直線に並ぶと、$\skiTheta - \psi$ が 0° か 180° になり、左辺が 0 です。だから $\sscWc = 0$ です。