4本の棒の長さで、回るか揺れるかが決まる4節リンク（グラスホフの条件）

ワイパーは、どうやって行ったり来たりする？

雨の日、車のワイパーは、窓の上を行ったり来たりします。端まで行くと向きを変え、また戻ってきます。

ところが、ワイパーを動かすモータは、同じ向きに回り続けているだけです。向きを変えるスイッチは、どこにもありません。

回り続ける動きを、行ったり来たりに変えているのは、ボンネットの下にある棒の組み合わせです。

ここでは、次の4本で考えます。

• モータに付いて回る短い棒（クランク）：40 mm
• クランクの先と、ワイパーの軸の腕をつなぐ棒（連接棒）：120 mm
• ワイパーの軸に付いた腕（てこ）：80 mm
• モータの軸とワイパーの軸の間（固定節）：100 mm

このように、機構をつくる1本1本の部品（棒・板・床）を節（せつ）といいます。4つの節をピンで輪につないだものが、4節リンクです。動かない床や枠も、1つの節（固定節）に数えます。

クランクを1回転させると、てこはどれだけの幅で振れるでしょうか。そして、クランクはどこまで長くしても、1回転できるのでしょうか。

予想してから読むクランクを 40 mm から 70 mm に伸ばすと、どうなる？（ほかの3本はそのまま）

Aてこの振れ幅が大きくなるBてこの振れ幅は変わらないCクランクが1回転できなくなる

公式はこれ

4本の節の長さを、短い順に並べます。いちばん短い節を $s$、いちばん長い節を $l$、残りの2本を $p$・$q$ とします。

$$s + l \le p + q$$

これがグラスホフの条件です。満たすとき、いちばん短い節は、ほかの節に対してぐるりと1回転できます。

40 + 120 = 160 mm で、80 + 100 = 180 mm より 20 mm 小さいので、クランクは1回転できます。この 20 mm を、ここでは「グラスホフの余裕」と呼びます。

なぜ「最短＋最長」と「残り2本の和」を比べるのかを、コンパスで見ていきます。

長さの決まった棒は、円を描くことしかできない

コンパスの交点

コンパスの針を紙に刺して回すと、鉛筆の先は円を描きます。針と鉛筆の間の長さが変わらないからです。

4節リンクの棒も同じです。てこの先 B は、ワイパーの軸 O4 を中心にした、半径 80 mm の円の上しか動けません。

B は連接棒で、クランクの先 A ともつながっています。だから B は、A を中心にした半径 120 mm の円の上にもあります。

B の場所は、この2つの円の交点です。クランクが回ると A が動き、A を中心にした円も動きます。交点も動き、てこが振れます。

交点が無くなると、止まる

2つの円が、いつも交わるとは限りません。中心どうしが離れすぎると、円は届かなくなります。近づきすぎて、一方の円が他方の内側に入っても、交わりません。

A を中心にした円（半径 120 mm）と、O4 を中心にした円（半径 80 mm）が交わるのは、A と O4 の間の距離が、次の範囲にあるときです。

$$120 - 80 = 40\ \mathrm{mm} \;\le\; \overline{AO_4} \;\le\; 120 + 80 = 200\ \mathrm{mm}$$

クランクを1回転させると、$\overline{AO_4}$ は、クランクが O4 を向いたときにいちばん短く、反対を向いたときにいちばん長くなります。

$$100 - 40 = 60\ \mathrm{mm} \;\le\; \overline{AO_4} \;\le\; 100 + 40 = 140\ \mathrm{mm}$$

60〜140 mm は、40〜200 mm の内側に入っています。どの向きでも交点があるので、クランクは1回転できます。

クランクが回れなくなる理由

クランクを 70 mm に伸ばしてみます。クランクが O4 を向いたとき、$\overline{AO_4}$ は 100 − 70 = 30 mm です。

円が交わるには、40 mm 以上が要りました。30 mm では、半径 80 mm の円が、半径 120 mm の円の内側に入ってしまいます。交点が無いので、クランクはその向きまで回れません。

この「いちばん近づいたとき」の条件を、式にします。

$$\sysD - \sysA \ge \sysB - \sysC \quad\Longrightarrow\quad \sysA + \sysB \le \sysC + \sysD$$

両辺に $\sysA + \sysC$ を足して、左右を入れ替えただけです。左辺の $\sysA + \sysB$ は、最短（クランク）と最長（連接棒）の和です。右辺は、残りの2本の和です。

ほかの節が最長のときも、「いちばん近づいたとき」と「いちばん離れたとき」の三角形を調べると、同じ形の式 $s + l \le p + q$ になります（下の「式の導き方」）。

てこの振れ幅は、2つの一直線の姿勢で決まる

てこの先 B は、O4 のまわりの円の上にあります。だから、クランクの付け根 O2 から B までの距離 $\overline{O_2B}$ が決まれば、てこの角度も1つに決まります。

$\overline{O_2B}$ がいちばん長くなるのは、クランクと連接棒が一直線に伸びきったときで、120 + 40 = 160 mm です。いちばん短くなるのは、2本が一直線に重なったときで、120 − 40 = 80 mm です。この2つの姿勢が、てこの振れの両端です。

どちらも、O2・O4・B を結ぶ三角形の3辺が決まります。余弦定理で、O4 のところの角（固定節とてこのなす角）を出します。

$$\cos\angle O_4 = \dfrac{\sysD^2 + \sysC^2 - \overline{O_2B}^2}{2\,\sysD\,\sysC}$$ $$\sysSwing = 125.1^{\circ} - 51.3^{\circ} = 73.8^{\circ}$$

てこは、約 74° の幅で往復します。クランクを少しずつ回しながら、てこの角度を調べた値（シミュレータの値）も、同じ 73.8° です。

行きと帰りで、かかる時間が少し違う

伸びきりから重なりまで、クランクは 207.2° 回ります。重なりから伸びきりまでは、残りの 152.8° です。

クランクは一定の速さで回るので、片方の向きは、もう片方より 207.2 ÷ 152.8 ≒ 1.36 倍の時間がかかります。この差を大きくして使う機械は、早戻り機構 で見ます。

どの節を固定するかで、動き方が変わる

ワイパーの4本は、輪のように、固定節 100 → クランク 40 → 連接棒 120 → てこ 80 → 固定節 100 とつながっています。グラスホフの条件を満たすので、いちばん短い 40 mm の節は、ほかの節に対して1回転できます。

どの節を床に固定するかで、その「1回転できる節」が、床から見てどこにあるかが変わります。

棒の長さは、1本も変えていません。変えたのは、床に固定する節だけです。このように固定する節を取り替えることを、機構の置き換え（交替）といいます。

グラスホフの条件を満たさない4本では、どの節を固定しても、床から見て1回転できる節はありません。どれを固定しても、両てこです。

どの数字がいちばん効く？

ワイパーの4節リンクで、1本ずつ長さを10%だけ長くしたとき、てこの振れ幅がどう変わるかを調べました。

いちばん効いたのは、連接棒でした。余裕が 20 mm から 8 mm に減り、回れる限界に近づいたからです。この表では、余裕が小さくなるほど、てこは大きく振れています。

クランクを 60 mm にして余裕を 0 にすると、振れ幅は 143.1° まで広がります。そのかわり、4本が一直線に並ぶ向きができて、そこから先、てこがどちらへ動くか決まらなくなります。限界ぎりぎりの長さは使えません。

ワイパーに戻る

ワイパーのモータは、クランクを同じ向きに回し続けるだけです。4節リンクが、その回転を、約 74° の往復に変えています。

クランクが1回転するたびに、てこは1往復します。だから、クランクの回転数が、そのまま1分あたりの往復の回数です。

アメリカの自動車の安全基準（FMVSS No. 104）は、ワイパーに2つ以上の速さを持たせ、速いほうは1分に 45 往復以上、遅いほうは 20 往復以上と決めています。毎分 45 回転のクランクなら、1往復は 60 ÷ 45 ≒ 1.33 秒です。

回る物から往復を作る場面は、ほかにもあります。首を振る扇風機には、羽根を回すモータの回転から、首の往復を作るものがあります。

動かしてみよう

クランク（朱）が回ると、連接棒（墨）が、てこ（青）を往復させます。てこの先が通る円弧が点線で、往復の両端のてこが破線で出ます。

クランク $\sysA$ を少しずつ伸ばしてみてください。てこの振れ幅が広がり、61 mm 以上にすると、クランクが途中で引き返すようになります。

「試してみよう」では、4本の長さを入れ替えて、固定する節を替えます。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残したときの波形が薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1クランク a を 70 mm に伸ばす（ほかは初期値）。再生して、クランクが1回転できるか、どこで引き返すかを見る（まだ）
2. 2同じ4本で、いちばん短い 40 mm の節を固定する（d を 40、a を 100、b を 80、c を 120）。図の上の「種類」と、2本の節の回り方を見る（まだ）
3. 3同じ4本で、40 mm の節を固定節の向かい（連接棒）にする（d を 80、a を 100、b を 40、c を 120）。「種類」と、両側の節の動きを見る（まだ）

aクランクの長さ−mm＋

b連接棒の長さ−mm＋

cてこの長さ−mm＋

d固定節の長さ（支点の間）−mm＋

N原動節の回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べるてこの振れ幅は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\Delta\phi} = \phi_{\max} - \phi_{\min}$$$$= 129^{\circ} - 54.9^{\circ}$$$$= 73.8^{\circ}$$

グラスホフの余裕

$\htmlClass{q-geometry}{(p+q)-(s+l)} = 20\ \mathrm{mm}$

てこの振れ幅

$\htmlClass{q-displacement}{\Delta\phi} = 73.8^{\circ}$

行きと帰りの時間の比

$\htmlClass{q-flow}{t_1/t_2} = 1.36\$

途中の計算（導出）を見る

1. グラスホフの条件（残り2本の和から、最短と最長の和を引く）

   $$(p + q) - (s + l) = (80 + 100) - (40 + 120) = 20\ \mathrm{mm}$$

2. てこの振れ幅（てこの角度のいちばん大きいときと、小さいときの差）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\Delta\phi} = \phi_{\max} - \phi_{\min} = 129^{\circ} - 54.9^{\circ} = 73.8^{\circ}$$

3. 行きと帰りの時間の比（それぞれの間に、クランクが回る角度の比）

   $$\htmlClass{q-flow}{t_1/t_2} = \dfrac{\theta_1}{\theta_2} = \dfrac{207^{\circ}}{153^{\circ}} = 1.36$$

4本の棒の長さや、つなぐ場所を自由に変えて組んでみたい人は、リンク機構のツールで試せます。

よくある勘違い

「いちばん短い節なら、いつでもクランクになる」

いちばん短い節が、床から見て1回転できるのは、固定節の隣にあるときだけです。固定節の向かい（連接棒）にあると、両てこになります。床に固定すると、両クランクになります。

「グラスホフの条件を満たせば、どの節も1回転できる」

1回転できるのは、いちばん短い節だけです。最短の節を含まない2本の間の角は、1回転分は変わりません。

「クランクを長くすれば、振れ幅はいくらでも大きくできる」

できません。振れ幅が大きくなるのは、余裕が 0 になる 60 mm までです。そこをこえると、クランクが1回転できなくなります。

この考え方が使える条件

• 4本の節は、どれも長さが変わらない（曲がったり、伸びたりしない）
• 4つの対偶（つなぎ目）は、どれもピンで回る回り対偶。すべる溝は無い
• 4本は同じ平面の中で動き、ぶつからない
• 組み方は1通り（てこの先 B が、固定節の上側にある形）。ぎりぎりの長さで、組み方が上下に入れ替わる場合は考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

クランクが1回転できる条件：クランク $\sysA$ の先 A と、てこの支点 O4 の距離 $e = \overline{AO_4}$ は、クランクの向きによって $\sysD - \sysA$ から $\sysD + \sysA$ まで変わります（$\sysA$ が $\sysD$ より短いとき）。A を中心にした半径 $\sysB$ の円と、O4 を中心にした半径 $\sysC$ の円が交わるのは、$|\sysB - \sysC| \le e \le \sysB + \sysC$ のときです。どの向きでも交わるには、

$$\sysD + \sysA \le \sysB + \sysC, \qquad \sysD - \sysA \ge |\sysB - \sysC|$$

の両方が要ります。2つ目は、$\sysB \ge \sysC$ なら $\sysA + \sysB \le \sysC + \sysD$、$\sysB < \sysC$ なら $\sysA + \sysC \le \sysB + \sysD$ です。

最短＋最長の形にまとまる：クランク $\sysA$ が最短のとき、どの不等式も「$\sysA$ ＋（ほかの1本）≦ 残りの2本」の形です。いちばん厳しいのは、$\sysA$ に最長の節を足したときです。だから、まとめると $s + l \le p + q$ の1本になります。ワイパーでは、最長が連接棒なので、$40 + 120 \le 80 + 100$ がいちばん厳しい式です。

振れ幅：てこの角度は、$\overline{O_2B}$ の長さで決まります。$\overline{O_2B}$ は、クランクと連接棒のなす角で決まり、2本が一直線に並ぶとき、いちばん長い $\sysB + \sysA$ と、いちばん短い $\sysB - \sysA$ になります。いちばん長い・短いところでは、クランクを少し回しても $\overline{O_2B}$ がほとんど変わらないので、てこは一瞬止まり、向きを変えます。

$$\sysSwing = \arccos\dfrac{\sysD^2 + \sysC^2 - (\sysB + \sysA)^2}{2\sysD\sysC} - \arccos\dfrac{\sysD^2 + \sysC^2 - (\sysB - \sysA)^2}{2\sysD\sysC}$$

40・120・80・100 mm を入れると、125.1° − 51.3° = 73.8° です。

行きと帰りのクランク角：同じ2つの三角形で、O2 のところの角（固定節と O2–B のなす角）を余弦定理で出すと、伸びきりは 24.1°、重なりは 51.3° です。重なりでは、クランクは O2–B と反対を向くので、クランクの角度は 51.3° + 180° = 231.3° です。間は 231.3° − 24.1° = 207.2°、残りが 152.8° です。