速さは、流れを止めた圧力で測る流速と流量の測り方（ピトー管・ベンチュリ管）

見えない空気の速さを、どう測る？

旅客機の機首の横を見ると、前へ突き出た、細いL字の金属の管が付いています。これがピトー管です。飛行機の速度計は、この管で空気の速さを測っています。

空気は見えませんし、羽根車を回すような道具は、速い飛行機では壊れてしまいます。ピトー管には、動く部品がありません。穴が2つあいているだけです。それで、どうして速さが分かるのでしょうか。

予想してから読む空気の速さが2倍になると、ピトー管の2つの穴の圧力の差は何倍になる？

A2倍B4倍C√2倍（約1.41倍）

公式はこれ

$$\srkV = \sqrt{\dfrac{2\,\srkPd}{\srkRhoA}}$$

圧力の差 542 Pa を読めば、30 m/s と分かります。542 Pa は、水の柱にすると 55 mm 分の圧力です。

流れを止めて、速さを圧力に両替する

先の穴と、横の穴

ピトー管には、穴が2か所あります。

1. 先の穴：流れに真正面から向いている穴。ここに来た空気は、行き場がなく、止まります。
2. 横の穴：管の側面の穴。空気は穴の前を素通りするので、流れているそのままの圧力が入ります。

先の穴の圧力を全圧、横の穴の圧力を静圧といいます。2つの穴は、管の中の別々の通り道で、速度計につながっています。

財布の中身の両替

ベルヌーイの定理 で見た、財布の中身の両替を使います。流れのエネルギーは、圧力の分・速さの分・高さの分の3つの形で持てて、損失がなければ合計は変わりません。

先の穴の前で止まった空気は、速さの分 $\tfrac{1}{2}\srkRhoA\srkV^2$ を手放します。手放した分は、そっくり圧力の分に替わります。高さは同じなので、高さの分は出てきません。

$$\underbrace{\text{全圧}}_{\text{先の穴}} = \underbrace{\text{静圧}}_{\text{横の穴}} + \tfrac{1}{2}\srkRhoA\srkV^2$$

2つの穴の圧力の差が、ちょうど速さの分です。この $\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2$ を動圧といいます。

川の流れに手のひらを立てて当てると、手の前で水が盛り上がります。流れが手に止められて、速さの分が圧力（と高さ）に替わったところです。

数で確かめる

空気が 30 m/s のときの、2つの穴の圧力の差を求めます。

$$\srkPd = \tfrac{1}{2}\srkRhoA\srkV^2 = \tfrac{1}{2} \times 1.204 \times 30^2 = 542\ \mathrm{Pa}$$

2つの穴を、水を入れたU字管につなぐと、全圧の側の水が押し下げられ、静圧の側の水が上がります。左右の水面の差は、

$$\srkHw = \dfrac{\srkPd}{\srkRhoW\,\sryG} = \dfrac{542}{998.2 \times 9.807} = 0.0553\ \mathrm{m} = 55.3\ \mathrm{mm}$$

時速 108 km の風でも、水を 55 mm 持ち上げるだけです。空気は、水の約830分の1の軽さだからです。

速さ2倍で、差は4倍

空気の速さを変えると、圧力の差は次のようになります。

速さが3倍の 30 m/s で、差は9倍。速さが2倍の 60 m/s で、差は4倍です。

速度計は、この逆をします。圧力の差を読み、それを空気の密度で割って2倍し、√ をとって速さにします。圧力の差が4倍になったら、速さは2倍と表示します。

ピトー管の名前は、フランスのピトーから来ています。ピトーは1730年代に、曲げたガラスの管で、パリのセーヌ川の流れの速さを測りました。

管の流量は、絞って測る

水道管の中の流れ

ピトー管は、1点の速さを測る道具です。管の中を毎秒どれだけの水が流れているか（流量）を知りたいときは、管をいったん細く絞る方法がよく使われます。管を絞った部分をベンチュリ管といいます。

絞ると速くなり、圧力が下がる

連続の式（流量は変わらない） の決まり（入った量 ＝ 出た量）で、細い所では水が速く流れます。内径 50 mm を 25 mm に絞ると、断面積は4分の1なので、速さは4倍です。

毎秒 2 L の水なら、太い所で 1.02 m/s、絞った所で 4.07 m/s。速さの分が増えた分だけ、圧力の分が減ります。

$$\srkDp = \tfrac{1}{2}\srkRhoW\left(\srkVTwo^2 - \srkVOne^2\right) = \tfrac{1}{2} \times 998.2 \times \left(4.07^2 - 1.02^2\right) = 7.77\ \mathrm{kPa}$$

差圧計がこの 7.77 kPa を読めば、毎秒 2 L と分かります。流量が2倍の毎秒 4 L になると、どちらの速さも2倍になるので、差は4倍の 31.1 kPa です。ここでも、流量は差の √ で出します。

この流量計は、アメリカの技術者ハーシェルが 1887年に発表し、絞った管で流れを調べたイタリアのベンチュリの名前を付けました。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\srkPd = \underbrace{\tfrac{1}{2}}_{\text{半分}}\ \underbrace{\srkRhoA}_{\text{1 m³ の重さ}}\ \underbrace{\srkV^2}_{\text{速さの2乗}}$$

1. $\tfrac{1}{2}$　運動エネルギー $\tfrac{1}{2}mv^2$ の 1/2 と同じものです。止まるまでの間に、速さは平均すると半分だからです。
2. $\srkRhoA$　1 m³ あたりの質量です。同じ速さでも、重い流体ほど大きな差になります。30 m/s の水なら、空気の約830倍の差になります。
3. $\srkV^2$　速さの2乗です。遅い流れは、差がとても小さくなります。10 m/s の風では 60 Pa しかなく、精度よく読むのが難しくなります。

どの数字がいちばん効く？

空気 30 m/s・水 2 L/s（50 → 25 mm）から、1つずつ数字を変えたときの、読む値の変わり方です。

測る道具として見ると、速さの読み違いは、差の読み違いの約半分で済みます。√ をとるからです。その代わり、遅い流れでは差そのものが小さすぎて、読みにくくなります。

旅客機に戻る

旅客機のピトー管は、2つの穴の圧力の差を、速度計に送ります。速度計は、地上の空気の密度を使って、その差を速さに直します。

高い空では、空気が薄く（密度が小さく）なります。同じ圧力の差でも、本当の速さは、速度計の表示より速くなります。それでも、翼が受ける力も同じ動圧 $\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2$ で決まるので、操縦には、この表示の速さが役に立ちます。

ピトー管の先の穴が氷でふさがると、速さを読めなくなります。そのため、旅客機のピトー管には、氷を溶かすヒーターが組み込まれています。

動かしてみよう

空気の速さ $\srkV$ のスライダーを動かしてみてください。ピトー管の U字管の左右の水面の差が、速さの2乗で開いたり閉じたりします。

「いまの図を残して比べる」を押してから速さを2倍にすると、水柱の差が4倍になるのを、並べて見られます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 2

1. 1空気の速さ v を 10 m/s（気象庁の言い方で「やや強い風」）にして、U字管の水柱の差が何 mm になるか見る（まだ）
2. 2空気の速さ v を2倍の 60 m/s にして、水柱の差が何倍になるか見る（まだ）

v空気の流れの速さ−m/s＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べるピトー管の圧力の差（動圧）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{d}}} = \tfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{a}}}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2$$$$= \tfrac{1}{2} \times 1.204 \times 30^2$$$$= 542\ \mathrm{Pa}$$

ピトー管の圧力の差（動圧）

$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{d}}} = 542\ \mathrm{Pa}$

ピトー管の水柱の差

$\htmlClass{q-geometry}{h_{\mathrm{w}}} = 55.3\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. ピトー管の2つの穴の圧力の差（先の穴で止めた、速さの分）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{d}}} = \tfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{a}}}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2 = \tfrac{1}{2} \times 1.204 \times 30^2 = 542\ \mathrm{Pa}$$

2. U字管の水柱の差に直す

   $$\htmlClass{q-geometry}{h_{\mathrm{w}}} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{d}}}}{\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{w}}}\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{542}{998.2 \times 9.807} = 55.3\ \mathrm{mm}$$

3. 逆に、圧力の差から速さを出す（速度計の目盛りの付け方）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v} = \sqrt{\dfrac{2\,\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{d}}}}{\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{a}}}}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 542}{1.204}} = 30\ \mathrm{m/s}$$

次は、ベンチュリ管です。流量 $\srkQ$ と、絞った所の内径 $\srkDTwo$ を変えてみてください。矢印の長さと粒の速さが流速を表します。2本の水柱の水面の差と赤い棒が、2つの穴の圧力の差を表します。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 2

1. 1ベンチュリ管の流量 Q を2倍の 4 L/s にして（絞りは 25 mm のまま）、圧力の差の棒を見る（まだ）
2. 2流量は毎秒 2 L のまま、絞った所の内径 d2 を 35 mm に広げて、圧力の差の棒を見る（まだ）

Qベンチュリ管を流れる水の量−L/s＋

d2絞った所の内径−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べるベンチュリ管の圧力の差は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \tfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{w}}}\left(\htmlClass{q-displacement}{v_2}^2 - \htmlClass{q-displacement}{v_1}^2\right)$$$$= \tfrac{1}{2} \times 998.2 \times \left(4.07^2 - 1.02^2\right)$$$$= 7.77\ \mathrm{kPa}$$

太い所の流速

$\htmlClass{q-displacement}{v_1} = 1.02\ \mathrm{m/s}$

絞った所の流速

$\htmlClass{q-displacement}{v_2} = 4.07\ \mathrm{m/s}$

ベンチュリ管の圧力の差

$\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = 7.77\ \mathrm{kPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. ベンチュリ管の太い所と絞った所の流速（流量はどこでも同じ）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v_1} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\htmlClass{q-geometry}{A_1}},\quad \htmlClass{q-displacement}{v_2} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\htmlClass{q-geometry}{A_2}} = \dfrac{2\times 10^{-3}}{1{,}960\times 10^{-6}},\quad \dfrac{2\times 10^{-3}}{491\times 10^{-6}} = 1.02\ \mathrm{m/s},\ 4.07\ \mathrm{m/s}$$

2. 太い所と絞った所の圧力の差（増えた速さの分だけ、圧力が減る）

   $$\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \tfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{w}}}\left(\htmlClass{q-displacement}{v_2}^2 - \htmlClass{q-displacement}{v_1}^2\right) = \tfrac{1}{2} \times 998.2 \times \left(4.07^2 - 1.02^2\right) = 7.77\ \mathrm{kPa}$$

3. 逆に、圧力の差から流量を出す（流量計の目盛りの付け方）

   $$\htmlClass{q-displacement}{Q} = \htmlClass{q-geometry}{A_2}\sqrt{\dfrac{2\,\htmlClass{q-stress}{\Delta p}}{\htmlClass{q-material}{\rho_{\mathrm{w}}}\left(1 - (\htmlClass{q-geometry}{A_2}/\htmlClass{q-geometry}{A_1})^2\right)}} = 491\times 10^{-6} \times \sqrt{\dfrac{2 \times 7{,}770}{998.2 \times \left(1 - 0.0625\right)}} = 2\ \mathrm{L/s}$$

よくある勘違い

「圧力の差が2倍なら、速さも2倍」

速さは、圧力の差の √ で決まります。差が2倍なら、速さは約 1.41倍です。速さを2倍にすると、差は4倍になります。

「ピトー管の先の穴の圧力が、流れの圧力」

先の穴の圧力は、流れを止めたときの圧力（全圧）で、流れているそのままの圧力（静圧）より、動圧の分だけ高くなっています。

「絞った所は、水が押し込まれて圧力が高い」

細い所を水が通るので、押し込まれて圧力が高そうに見えます。実際は逆で、速くなった分だけ、圧力は下がっています。毎秒 2 L・25 mm なら、太い所より 7.77 kPa 低くなっています。

この公式が使える条件

• 損失がない（ねばりけによる摩擦が小さい。ピトー管の先や、ベンチュリ管のくびれまでの短い区間なら、よく合う）
• 流れが時間で変わらない（定常の流れ）
• 流体が押し縮められない。空気では、速さが音の速さの3割くらいまで（目安）
• ピトー管は、先の穴を流れの向きにまっすぐ向ける
• ベンチュリ管は水平に置き、管の中は水で満ちている
• 実際のベンチュリ管は、わずかな損失の分だけ、式の流量に流量係数（0.98 前後）をかけて目盛りを付ける。この単元の盤と例題は、係数を 1（損失なし）としている

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

ピトー管：先の穴から遠い上流（場所 1：圧力 $\sryP$、速さ $\srkV$）と、先の穴の前の、流れが止まった所（場所 2：圧力 $p_0$、速さ 0）を、同じ流れの線の上で比べます。高さは同じです。

$$\sryP + \tfrac{1}{2}\srkRhoA\srkV^2 = p_0 + 0$$

横の穴には、まわりの流れの圧力 $\sryP$ が入ります。2つの穴の差は $\srkPd = p_0 - \sryP = \tfrac{1}{2}\srkRhoA\srkV^2$ で、v について解くと、最初に置いた公式になります。

$$\srkV = \sqrt{\dfrac{2\,\srkPd}{\srkRhoA}}$$

ベンチュリ管：流量 $\srkQ$ は、太い所でも絞った所でも同じです（連続の式）。

$$\srkQ = \srkAOne\,\srkVOne = \srkATwo\,\srkVTwo \qquad\Longrightarrow\qquad \srkVOne = \dfrac{\srkATwo}{\srkAOne}\,\srkVTwo$$

高さは同じなので、ベルヌーイの定理は圧力の分と速さの分だけです。

$$\srkDp = \tfrac{1}{2}\srkRhoW\left(\srkVTwo^2 - \srkVOne^2\right) = \tfrac{1}{2}\srkRhoW\,\srkVTwo^2\left(1 - \left(\dfrac{\srkATwo}{\srkAOne}\right)^2\right)$$

$\srkVTwo$ について解き、$\srkATwo$ をかけると、流量計の式になります。

$$\srkQ = \srkATwo\sqrt{\dfrac{2\,\srkDp}{\srkRhoW\left(1 - (\srkATwo/\srkAOne)^2\right)}}$$

50 mm → 25 mm では $(\srkATwo/\srkAOne)^2 = 1/16$ です。7.77 kPa を入れると、毎秒 2.00 L に戻ります。