長いはりは、自分の重さで曲がる単純支持ばりのたわみ（等分布荷重）

前の単元との違い支え方は前の単元（単純支持・中央に集中荷重）と同じです。荷重が真ん中の1点ではなく、全体に広がってかかります。

物干し竿は、どれだけ下がる？

ベランダの物干し竿に、洗濯物を並べて干します。竿は両端の受けに載っているだけで、洗濯物は竿の全体に並んでぶら下がります。濡れたタオルを何枚も干すと、竿が真ん中で下がります。長い竿ほど、その下がりは目立ちます。

この単元では、1本の物干し竿で考えます。鋼の管（外径 25 mm、内径 23 mm）で、受けと受けの間隔は 1,800 mm です。洗濯物は、全部で 60 N（約 6 kg）です。

竿の真ん中は、何 mm 下がるでしょうか。洗濯物を真ん中に寄せて干すと、どう変わるでしょうか。

予想してから読む同じ 60 N の洗濯物を、真ん中の1点に寄せずに、竿の全体に並べると、真ん中のたわみは何倍になる？

A変わらないB8分の5C2分の1

荷重が、広がってかかるとき

前の単元 単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） では、荷重が真ん中の1点にかかっていました。でも、現実の荷重は、広がっていることが多いものです。本棚に並べた本、橋の上に積もった雪、床に置いた荷物。そして、はり自身の重さ。

全体に、同じ強さで広がってかかる荷重を、等分布荷重といいます。大きさは、長さ 1 mm あたりの荷重 $\sw$（N/mm）で表します。全部をまとめた重さが、総荷重 $\sW = \sw\,\sL$ です。物干し竿なら、洗濯物の全部の重さが $\sW$、竿 1 mm あたりの重さが $\sw$ です。

公式はこれ

$$\sdeltaMax = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}$$

両端の支点は、総荷重の半分ずつ $\sR = \sw\,\sL/2$ を支えます。最大の曲げモーメントは真ん中で $\sMmax = \sw\,\sL^2/8$ です（せん断力図と曲げモーメント図）。

384 も 5 も、突然出てくる数に見えます。前の単元と同じ、背中合わせの見方で出してみます。

5/384 の出どころ　背中合わせの片持ちばり、もう一度

1. 真ん中を壁と見る。荷重は左右対称なので、真ん中では、はりは水平です。真ん中を壁と見ると、長さ $\sL/2$ の片持ちばりが、左右に1本ずつの形になります（前の単元と同じ）。

2. 片持ちばりにかかる力は2つ。左半分の片持ちばりには、次の2つがかかっています。

• 先端（もとの支点）を押し上げる力 $\sw\sL/2$
• 全体に広がって押し下げる荷重 $\sw$（長さ $\sL/2$ の分）

3. それぞれの効き目を出す。壁から見て、先端がどれだけ上がるかを、片持ちばりの2つの式で出します。2つの効き目は、差し引きしてよいとします（くわしくは 重ね合わせの原理 の単元）。

先端の1点の力 $\sw\sL/2$ が押し上げる量は、片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） の式に、長さ $\sL/2$ を入れます。

$$\dfrac{(\sw\sL/2)\,(\sL/2)^3}{3\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sw\,\sL^4}{48\,\sE\,\sI} = \dfrac{8\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}$$

広げた荷重が押し下げる量は、片持ちばりのたわみ（等分布荷重） の式に、長さ $\sL/2$ を入れます。

$$\dfrac{\sw\,(\sL/2)^4}{8\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sw\,\sL^4}{128\,\sE\,\sI} = \dfrac{3\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}$$

48 と 128 を、同じ分母 384 にそろえました（48 × 8 = 384、128 × 3 = 384）。

4. 差し引く。押し上げが 8、押し下げが 3。差し引きで、先端は壁より 5 だけ上がっています。

$$\sdeltaMax = \dfrac{(8 - 3)\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI} = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}$$

384 は 48 と 128 をそろえた分母、5 は 8 − 3 です。押し上げの 8/384 は、前の単元の「真ん中に1点」とまったく同じ数です。広げた荷重は、そのうち 3/384 を打ち消して、たわみを小さくしています。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

式を、総荷重 $\sW$ を使って書き直すと、3つの部分の掛け算になります。

$$\sdeltaMax = \underbrace{\sW}_{\text{全部の重さ}} \times \underbrace{\dfrac{\sL^3}{\sE\,\sI}}_{\text{長さと曲がりにくさ}} \times \underbrace{\dfrac{5}{384}}_{\text{広げた割引}}$$

1. 全部の重さ $\sW$　洗濯物が重いほど、竿は下がります。ここで数えるのは、1 mm あたりの重さではなく、全部をまとめた重さです。
2. 長さと曲がりにくさ $\sL^3/\sE\,\sI$　竿が長いほど、そして細いほど、下がりやすくなります。分母の $\sE\,\sI$ が曲がりにくさです。長さは、重さを $\sW$ でまとめたあとなので、3乗になります。
3. 広げた割引 5/384　真ん中の1点に同じ重さをかけたときの係数は 1/48 = 8/384 でした。広げると 5/384（約 0.0130）で、1/48（約 0.0208）より小さくなります。割引の正体は 5/8 です。

「5/384」だけを覚えようとすると、面倒な数字に見えます。「1点荷重の式の 5/8」と覚えれば、「広げると楽になる」という意味も一緒に残ります。

真ん中の1点にかけたときと比べる

総荷重 $\sW = \sw\,\sL$ を使って、2つの式を並べます。

$$\text{等分布：}\ \sdeltaMax = \dfrac{5\,\sW\,\sL^3}{384\,\sE\,\sI} \qquad \text{真ん中に1点：}\ \sdeltaMax = \dfrac{\sW\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI} = \dfrac{8\,\sW\,\sL^3}{384\,\sE\,\sI}$$

分母をそろえると、5 と 8。広げてかけると、1点にかけたときの 5/8 です。

鋼の角棒（幅 30 mm、高さ 60 mm）、長さ 1,500 mm に、総荷重 3,000 N をかけた場合で比べます。

たわみは 5/8 倍、応力は半分です。

応力が半分なのは、真ん中の曲げモーメントが半分だからです。真ん中で切って、左半分をシーソーと見ます。支点の力 $\sW/2$ は、どちらも同じです。違うのは、左半分に載った荷重 $\sW/2$ が、真ん中を逆向きに回すことです。その荷重の真ん中は、切り口から $\sL/4$ のところにあります。

$$\sMmax = \dfrac{\sW}{2}\cdot\dfrac{\sL}{2} - \dfrac{\sW}{2}\cdot\dfrac{\sL}{4} = \dfrac{\sW\,\sL}{4} - \dfrac{\sW\,\sL}{8} = \dfrac{\sW\,\sL}{8}$$

1点のときの $\sW\sL/4$ の、ちょうど半分です。

左の三角形の山に比べて、右の山は、てっぺんの高さが半分です。いちばん大きい曲げモーメントが半分なので、曲げ応力も半分になります。

荷重が支点に近いほど、はりを曲げる効き目は小さくなります。たとえば、荷重 $\sW$ を、真ん中ではなく、支点から長さの 4分の1 の位置にかけると、いちばん大きな曲げモーメントは $3\sW\sL/16$ です。真ん中にかけたときの $\sW\sL/4$ の 0.75倍で済みます。

自分の重さで曲がる棒

はり自身の重さは、はり全体に均等にかかる、典型的な等分布荷重です。長さが2倍になっても、1 mm あたりの重さ $\sw$ は変わりません。でも、スパンが2倍になるので、$\sL^4$ が効いて、たわみは 2⁴ = 16倍 になります。

鋼の角棒（30 × 60 mm）を、両端を支えて水平にのせると、自重だけで、3 m で約 1.3 mm、6 m で約 21 mm たわみます。長い橋や、細長い部品では、自分の重さによるたわみが、無視できなくなります。

どの数字がいちばん効く？

1割ずつ変えたときの効き方は、片持ちばりのたわみ（等分布荷重） の表と同じです。長さは、1 mm あたりの荷重 $\sw$ が同じ（自重や雪）なら4乗で +46%、総荷重 $\sW$ が同じなら3乗で +33%。高さは −25%、荷重・幅・硬さは ±9〜10% です。支え方と荷重の広げ方は、係数（5/384）を変えるだけで、効き方は変えません。

物干し竿に戻る

最初の物干し竿（鋼の管、外径 25 mm・内径 23 mm、間隔 1,800 mm、洗濯物 60 N）で、数を入れます。管の断面二次モーメントは、$\pi(25^4 - 23^4)/64$ です。

全体に広げて干せば、竿の真ん中は 4.07 mm 下がります。真ん中に寄せると、6.51 mm です。洗濯物は、竿の全体に広げて干すほうが、竿は下がりません。竿の自重のたわみは、洗濯物にくらべるとずっと小さくなります。

同じ管で長さ 3.6 m（2倍）の竿にして、同じ洗濯物 60 N を広げて干すと、どうなるでしょうか。洗濯物のぶんは、総荷重が同じなので3乗で効いて、8倍の約 33 mm です。竿の自重のぶんは、1 mm あたりの重さが同じなので4乗で効いて、16倍の約 11 mm になります。合わせて約 44 mm です。長い竿が真ん中でぐっと下がるのは、このためです。

動かしてみよう

盤の初期値は、上の比べる表の角棒（鋼 30 × 60 mm、スパン 1,500 mm、2 N/mm）です。まず「荷重のかけ方」を同じ合計を真ん中の1点にに切り替えて、1.185 mm が何 mm になるか見てください。

次に「全体に均等」に戻して、荷重 $\sw$ はそのままで、長さだけを2倍にしてみてください。たわみは16倍です。総荷重を変えないように、$\sw$ を半分にして長さを2倍にすると、何倍になるでしょうか。

最後に「自重だけ」を選ぶと、荷物を何も載せない棒になります。長さを 3,000 mm から 6,000 mm へ伸ばしてみてください。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1荷重のかけ方を「同じ合計を真ん中の1点に」にする（3,000 N を真ん中に集める）（まだ）
2. 2「全体に均等」に戻して、スパン L を2倍の 3,000 mm にする（w は 2 N/mm のまま）（まだ）
3. 3荷重のかけ方を「自重だけ」にして、L を 3,000 mm にし、そのあと 6,000 mm にする（まだ）

荷荷重のかけ方

全体に均等同じ合計を真ん中の1点に自重だけ（鋼）

w等分布荷重（長さ1 mm あたり）−N/mm＋

Lはりの長さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる最大たわみは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×35

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×35 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}$$$$= \dfrac{5 \times 2 \times 1{,}500^4}{384 \times 206{,}000 \times 540{,}000}$$$$= 1.185\ \mathrm{mm}$$

最大たわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = 1.185\ \mathrm{mm}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 31.25\ \mathrm{MPa}$

総荷重

$\htmlClass{q-force}{W} = 3{,}000\ \mathrm{N}$

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 562{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}$

支点のたわみ角

$\htmlClass{q-displacement}{\theta_A} = 0.002528\ \mathrm{rad}$

ほかの値（3 個）

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$

支点の反力

$\htmlClass{q-force}{R} = 1{,}500\ \mathrm{N}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

2. 総荷重（単位長さあたりの荷重 × 長さ）

   $$\htmlClass{q-force}{W} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 2 \times 1{,}500 = 3{,}000\ \mathrm{N}$$

3. 支点の反力（総荷重の半分ずつ）

   $$\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{2} = \dfrac{2 \times 1{,}500}{2} = 1{,}500\ \mathrm{N}$$

4. 最大曲げモーメント（中央）

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{8} = \dfrac{2 \times 1{,}500^2}{8} = 562{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}$$

5. 最大たわみ（中央）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5 \times 2 \times 1{,}500^4}{384 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 1.185\ \mathrm{mm}$$

6. 支点のたわみ角

   $$\htmlClass{q-displacement}{\theta_A} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{24\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{2 \times 1{,}500^3}{24 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 0.002528\ \mathrm{rad}$$

7. 最大曲げ応力（中央の上下の面）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{562{,}500}{18{,}000} = 31.25\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「広げてかけると、たわみは半分になる」

半分になるのは、最大の曲げモーメント（と、曲げ応力）です。たわみは、5/8 倍までしか減りません。モーメントの減り方と、たわみの減り方は別の数です。

「自分の重さは、無視してよい」

短くて太い棒なら、無視できます。でも、長さが増えると、自重のたわみは長さの4乗で増えます。橋や長い梁では、荷重を載せる前に、自重だけでたわんでいます。

「5/384 は、面倒な数字だから暗記するしかない」

覚えるのは、1点荷重の式 $\sW\sL^3/(48\,\sE\,\sI)$ と、「広げると 5/8」の2つです。$5/384 = (5/8) \times (1/48)$ なので、片方を忘れても、もう片方から作れます。どちらも忘れたら、背中合わせの片持ちばりで 8 − 3 = 5 を出せます。

「荷重が全部同じなら、1 mm あたりの荷重も同じ」

荷重の数え方は2通りあります。竿の長さを変えても、1 mm あたりの荷重 $\sw$ が同じ（自重や雪）なら、総荷重 $\sW$ は長さに比例して増えます。だから、長さは4乗で効きます。洗濯物の総重量 $\sW$ が同じなら3乗です。何を同じにしているかを、先に確かめましょう。

この公式が使える条件

• 荷重が、支点と支点の間の全長に、均等にかかる
• たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• はりの太さは、端から端まで同じ（自重を荷重に含めるときは、その自重も均等にかかる）
• 支点は、はりを上下に支えるだけ。端は傾いてよく、片方は横にも動ける

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

出発点の式 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ は、たわみの微分方程式と積分法 で出しました。ここでは、積分と境界条件で、背中合わせの見方と同じ答えになることを確かめます。

左の支点から $\sx$ の位置の曲げモーメントは、支点の力 $\sw\,\sL/2$ と、その左側にかかる荷重 $\sw\,\sx$（真ん中は $\sx/2$ の位置）から、

$$\sM = \dfrac{\sw\,\sL}{2}\,\sx - \sw\,\sx\cdot\dfrac{\sx}{2} = \dfrac{\sw\,\sx\,(\sL - \sx)}{2}$$

下向きのたわみを $\sv$ とすると、$\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ です。1回積分すると、

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d\sv}{d\sx} = -\dfrac{\sw\,\sL\,\sx^2}{4} + \dfrac{\sw\,\sx^3}{6} + C_1$$

もう1回積分すると、

$$\sE\,\sI\,\sv = -\dfrac{\sw\,\sL\,\sx^3}{12} + \dfrac{\sw\,\sx^4}{24} + C_1\,\sx + C_2$$

支点（$\sx = 0$）で $\sv = 0$ なので $C_2 = 0$。もう一方の支点（$\sx = \sL$）で $\sv = 0$ なので $C_1 = \sw\,\sL^3/24$。よって、

$$\sv(\sx) = \dfrac{\sw\,\sx\,(\sL^3 - 2\sL\,\sx^2 + \sx^3)}{24\,\sE\,\sI}$$

真ん中 $\sx = \sL/2$ を入れると、

$$\sdeltaMax = \dfrac{(\sw\,\sL/2)\cdot(5\sL^3/8)}{24\,\sE\,\sI} = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}$$

です。支点（$\sx = 0$）での傾きは $\sthetaA = C_1/(\sE\,\sI) = \sw\,\sL^3/(24\,\sE\,\sI)$ です。

「集中荷重の 5/8」は、等分布荷重を、細かく切った無数の集中荷重の足し合わせと見て、それぞれの影響を足し合わせた結果とも言えます。この見方は 重ね合わせの原理 の単元で扱います。