公式の「3」は、どこから来た？たわみの微分方程式と積分法

曲がるのは根元、下がるのは先端

壁から、鋼の角棒が 800 mm 突き出しています。断面は幅 30 mm、高さ 60 mm です。先に 600 N のおもりをつるします。

先端は、どれだけ下がるでしょうか。

予想してから読むでは、棒の真ん中（壁から 400 mm）は、先端の下がりの何割くらい下がる？

A約8割B半分C約3割

この章では、たわみの公式をいくつも使います。この単元では、その公式を、これまでの道具だけで自分で出す方法を見ます。章の公式の一覧は、下の「この章の公式の地図」にあります。

まず、棒のどこが曲がっているかを見ます。せん断力図と曲げモーメント図 で見たとおり、曲げモーメントは根元でいちばん大きく、先端で 0 です。だから、強く曲がっているのは根元です。先端の近くは、ほとんど曲がっていません。

ところが、いちばん下がるのは先端です。曲がる場所と、下がる場所が違います。この2つをつなぐのが、この単元の式です。

道具は、曲げ応力の単元の式

曲げ応力の式 では、曲げられたはりを、大きな円の一部と見ました。その円の半径が曲率半径 $\srho$ です。帯の力 × 距離を全部足すと、曲げモーメントと釣り合って、次の式になりました。

$$\sM = \dfrac{\sE\,\sI}{\srho}$$

両辺を $\sE\,\sI$ でわって、左右を入れかえます。

$$\dfrac{1}{\srho} = \dfrac{\sM}{\sE\,\sI}$$

$1/\srho$ は、半径が小さいほど大きくなる数です。つまり、曲がり具合です。名前は曲率といいます。

式を言葉で読むと、「曲がり具合は、曲げモーメントを、曲がりにくさ $\sE\sI$ でわったもの」です。

冒頭の棒の根元で、数を入れて確かめます。根元の曲げモーメントは、$\sP\,\sL$ = 600 × 800 = 480,000 N·mm です。断面二次モーメントは $\sI = 30 \times 60^3/12 = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$ です。

$$\dfrac{1}{\srho} = \dfrac{\sM}{\sE\,\sI} = \dfrac{480{,}000}{206{,}000 \times 540{,}000} = 4.315 \times 10^{-6}\ /\mathrm{mm}$$

曲率半径にすると、約 232 m です。見た目には、まっすぐにしか見えない曲がり方です。

曲がり具合は、傾きの変わり方

次に、曲がり具合を、たわみの言葉で書き直します。

壁からの位置を $\sx$、その位置で下がった量（たわみ）を $\sv$ とします。$\sv$ は下向きを正にします。

たわんだ棒の線の傾きは $\sv'$ です。まっすぐな線なら、傾きはどこでも同じで、曲がっていません。

傾きが変わるところが、曲がっているところです。少し進む間に傾きが大きく変わるほど、きついカーブです。

傾きの変わり方は、傾きをもう一度微分した $\sv''$ です。

ここで、向きの約束が1つ要ります。せん断力図と曲げモーメント図 では、はりが下に凸に曲がる向きを正にしました。下に凸のとき、たわみ $\sv$（下向きが正）は真ん中ほど大きく、グラフは山なりです。山なりの曲線では、傾きはだんだん減るので、$\sv''$ は負です。曲がり具合を正にしたいので、マイナスを付けます。

$$\dfrac{1}{\srho} \approx -\sv''$$

「≈」なのは、傾きがとても小さいとして、少しだけ省いたからです。はりの傾きは、ふつう 0.01 rad 以下です。傾きが 0.1 rad（約 5.7°）まで大きくなっても、省いた分は約 1.5% です。正確な式は、下の「式の導き方」にあります。

たわみの微分方程式

2つの式を、並べます。

$$\dfrac{1}{\srho} = \dfrac{\sM}{\sE\,\sI} \qquad \dfrac{1}{\srho} \approx -\sv''$$

左辺が同じなので、右辺どうしが等しくなります。両辺に $\sE\,\sI$ をかけると、

$$\sE\,\sI\,\sv'' = -\sM$$

これが、たわみの微分方程式です。マイナスは、たわみを下向きに正と取ったことから来ています。

同じ積み上げを、2回

せん断力図と曲げモーメント図 では、$\sM$ のグラフの傾きが $\sV$ でした。逆に、$\sV$ を左から積み上げると $\sM$ になりました。

たわみも、同じ形の積み上げです。

$$\underbrace{\Delta(\text{傾き}) = \dfrac{\sM}{\sE\,\sI}\times\Delta\sx}_{\text{1回目}} \qquad \underbrace{\Delta\sv = \text{傾き}\times\Delta\sx}_{\text{2回目}}$$

1. 曲がり具合 $\sM/\sE\sI$ を積み上げると、傾き（たわみ角）になる。
2. 傾きを積み上げると、たわみになる。

冒頭の棒で、1回目を確かめます。曲がり具合のグラフは、根元で $4.315 \times 10^{-6}$、先端で 0 の三角形です。積み上げた量は、その面積です。

$$\text{先端の傾き} = \dfrac{1}{2} \times \sL \times \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sI} = \dfrac{1}{2} \times 800 \times 4.315\times10^{-6} = 0.001726\ \mathrm{rad}$$

2回目は、傾きを積み上げます。坂道の高さが、区間ごとの「傾き × 区間の長さ」を足したものになるのと同じです。

棒を 200 mm ずつ4区間に分けます。各区間の真ん中の傾きに 200 mm をかけて足すと、先端のたわみは約 0.93 mm です。下で積分して出す正確な値は 0.9205 mm で、4区間でも 0.8% しかずれません。区間を限りなく細かくした行き着く先が、積分です。

積み上げで出る2つの定数は、支え方が決める

積み上げは、「どこから、いくつで始めるか」を決めないと、値が決まりません。1回目で1つ、2回目で1つ、合わせて2つの定数 $C_1$、$C_2$ が出ます。

それを決めるのが、支え方です。「ここは下がらない」「ここは傾かない」という条件で、2つの定数が決まります。この条件を境界条件といいます。

定数が2つなので、条件も2つ要ります。片持ちは、固定端の1か所で2つそろいます。単純支持は、両端のピンで1つずつ、合わせて2つです。

片持ちばりで、やってみる

壁を $\sx = 0$、先端を $\sx = \sL$ とします。先端に荷重 $\sP$ がかかります。

1. 曲げモーメントを書く。位置 $\sx$ で切って、先端側をシーソーと見ます。力 $\sP$ × 距離 $(\sL - \sx)$ です。棒は上に凸に曲がるので、符号はマイナスです。

$$\sM = -\sP\,(\sL - \sx)$$

2. 微分方程式に入れる。マイナスが2つで、プラスになります。

$$\sE\,\sI\,\sv'' = \sP\,(\sL - \sx)$$

3. 1回積み上げる（積分する）。$\sL$ は $\sL\sx$ に、$\sx$ は $\sx^2/2$ になります。

$$\sE\,\sI\,\sv' = \sP\left(\sL\sx - \dfrac{\sx^2}{2}\right) + C_1$$

壁では棒は傾けないので、$\sx = 0$ で $\sv' = 0$ です。かっこの中も 0 なので、$C_1 = 0$ です。

4. もう1回積み上げる。$\sL\sx$ は $\sL\sx^2/2$ に、$\sx^2/2$ は $\sx^3/6$ になります。

$$\sE\,\sI\,\sv = \sP\left(\dfrac{\sL\sx^2}{2} - \dfrac{\sx^3}{6}\right) + C_2$$

壁では下がらないので、$\sx = 0$ で $\sv = 0$。これで $C_2 = 0$ です。

5. 先端を見る。$\sx = \sL$ を入れます。

$$\sE\,\sI\,\sv(\sL) = \sP\left(\dfrac{\sL^3}{2} - \dfrac{\sL^3}{6}\right) = \sP\,\sL^3\left(\dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3}$$

両辺を $\sE\,\sI$ でわると、次の単元で使う公式になります。

$$\sv(\sL) = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}$$

公式の「3」は、2回積み上げて出た 1/2 と 1/6 の差、1/3 でした。

冒頭の棒に戻る

いま出した式に、冒頭の棒の数を入れます。

$$\sv(\sL) = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI} = \dfrac{600 \times 800^3}{3 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 0.9205\ \mathrm{mm}$$

先端は、約 0.92 mm 下がります。

棒の真ん中（400 mm）も見ます。傾きは、先端の 75%（0.001294 rad）まで来ています。ところが、たわみは先端のわずか 31%（0.2877 mm）です。

強く曲がっているのは根元でした。根元でついた傾きは、その先でずっと続きます。だから、下がりは先端に向かって大きく積み上がります。曲がるのは根元、下がるのは先端。冒頭の2つは、2回の積み上げでつながっていました。

手順をまとめると

はりの種類によらず、手順は同じです。

1. 曲げモーメント $\sM$ を、切ってシーソーと見て書く
2. $\sE\,\sI\,\sv'' = -\sM$ に入れる
3. 1回積分して、傾き（たわみ角） $\sE\,\sI\,\sv'$ を出す（定数 $C_1$ が出る）
4. もう1回積分して、たわみ $\sE\,\sI\,\sv$ を出す（定数 $C_2$ が出る）
5. 境界条件で、$C_1$ と $C_2$ を決める

この章の公式の地図

この章の公式は、どれも同じ形をしています。荷重の合計を $\sW$（1点の荷重なら $\sP$、全体に広がった荷重なら $\sw\,\sL$）とすると、

$$\sdeltaMax = \text{係数} \times \dfrac{\sW\,\sL^3}{\sE\,\sI}$$

違うのは係数だけです。係数を決めるのは、支え方と荷重の広がり方の2つです。どの係数も、上の5つの手順で出せます。

一端固定・他端支持は 不静定ばり（一端固定・他端支持）、両端固定は 両端固定ばり の単元で、どちらも2つの荷重を扱います。

単元が分かれているのは、マスごとに、係数の出どころと、設計で気をつけることが違うからです。

• 片持ち・先端：「3」の出どころと、長さ・高さが3乗で効くこと
• 片持ち・等分布：広げると 3/8。自重のように荷重が長さとともに増えると、長さの4乗
• 単純支持・中央：片持ちを背中合わせにして 16分の1
• 単純支持・等分布：真ん中の1点の 5/8
• 任意の位置：位置で決まる倍率の2乗。いちばん下がるのは真ん中の近く
• 支えを足したはり：支える力がつり合いだけでは決まらない。柱1本で約 1/23、両端の固定で 1/4〜1/5

荷重が2つ以上あるときは、マスの答えを足します（重ね合わせの原理）。許されるたわみから、はりの寸法を決めるのが たわみの制限と、はりの設計 です。

動かしてみよう

下のシミュレータでは、4つのはり（片持ち・単純支持、それぞれ集中荷重と等分布荷重）で、位置 x までの積み上げを、段ごとに見られます。

はりの種類を切り替えて、$\sM$、たわみ角、たわみの3つの曲線を見比べてください。見てほしいことは3つです。

位置 $x$ を動かすと、上の段の塗った面積が、下の段の点の高さ（出発点からの変化）になることが見えます。初期値の $x$ は壁から 400 mm で、冒頭の棒の真ん中です。

1. $\sM$ が大きいところで、傾きの曲線がいちばん急に変わっているか。
2. 片持ちでは壁、単純支持では支点で、たわみが 0 になっているか。
3. 支え方を変えると、傾きの曲線の出発点（$C_1$）がどう変わるか。

積分法位置 x を動かすと、上の段の塗った面積が、下の段の点の高さ（出発点からの変化）になります

試してみよう0 / 3

1. 1片持ち・先端に集中荷重のまま、長さ L を2倍の 1,600 mm にする（まだ）
2. 2「単純支持・全長に等分布荷重」に切り替えて（w 2.5 N/mm、L 800 mm）、支点のたわみ角を見る（まだ）
3. 3「単純支持・中央に集中荷重」に切り替えて（P 600 N、L 800 mm）、最大たわみを見る（まだ）

片持ち・先端に集中荷重片持ち・全長に等分布荷重単純支持・中央に集中荷重単純支持・全長に等分布荷重

P荷重−N＋

Lはりの長さ−mm＋

x見る位置（左端から）−mm＋

はりは、鋼（縦弾性係数 206 GPa）の、幅 30 mm × 高さ 60 mm の長方形断面（$I = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$）です。

先端のたわみ（最大）

$v = 0.9205\ \mathrm{mm}$

先端のたわみ角

$\theta = 0.001726\ \mathrm{rad}$

位置 x のたわみ角

$\theta(x) = 0.001294\ \mathrm{rad}$

位置 x のたわみ（最大の 31.3%）

$v(x) = 0.2877\ \mathrm{mm}$

積分の手順を見る（片持ち・先端に集中荷重）

1. 曲げモーメント（x の位置で切って、右側の力のつり合いから）

   $$M(x) = -P\,(L - x)$$

2. 式に入れる（EI v″ = −M）

   $$EI\,v'' = P\,(L - x)$$

3. 1回積分する → たわみ角。固定端ではたわみ角が 0 なので C₁ = 0

   $$EI\,v' = P\left(Lx - \dfrac{x^2}{2}\right) + C_1,\qquad v'(0)=0\ \Rightarrow\ C_1 = 0$$

4. もう1回積分する → たわみ。固定端ではたわみが 0 なので C₂ = 0

   $$EI\,v = P\left(\dfrac{Lx^2}{2} - \dfrac{x^3}{6}\right) + C_2,\qquad v(0)=0\ \Rightarrow\ C_2 = 0$$

5. 先端（x = L）を見る

   $$v(L) = \dfrac{P L^3}{3EI},\qquad v'(L) = \dfrac{P L^2}{2EI}$$

式のどこを見れば、何が分かる？

よくある勘違い

「積分の定数は、なんとなく 0 にする」

定数は、境界条件から決まる値です。片持ちの $C_1$ が 0 になったのは、壁で傾きが 0 だからです。単純支持ばりでは、$C_1$ は 0 になりません（シミュレータの4つ目のはりで、手順を見てください）。

「支点でたわみが 0 なら、傾きも 0」

ピン支持の支点で 0 になるのは、たわみだけです。傾きは自由なので、単純支持ばりの支点は、傾きが最大です（例題2では 0.001942 rad）。傾きまで 0 になるのは、壁に固定された端だけです。

「$\sv'$ は、傾きの角度（度）」

$\sv'$ は傾きの比です。小さい角度では、rad で測った角度とほぼ同じです。たわみ角が 0.001 rad なら、1 m 進んで 1 mm 下がる傾きです。

この単元で使う前提

• 小さなたわみ（たわみ角 $\sv'$ が 0.1 rad 以下）
• 材料は弾性の範囲で、$\sE\sI$ は場所によらず一定（途中で断面が変わると、区間に分けて積分する）
• 荷重が途中で変わるとき（集中荷重が中ほどにあるなど）は、$\sM$ が区間ごとに別の式になる。それぞれの区間で積分して、区間の境目でたわみと傾きがつながる条件を足す

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

曲率の正確な式：曲線 $\sv(\sx)$ の接線が、横の軸となす角を $\varphi$ とします。$\tan\varphi = \sv'$ です。曲線に沿って測った長さを $s$ とすると、曲率は、角度が変わる速さ $1/\srho = d\varphi/ds$ です。

$$\dfrac{d\varphi}{ds} = \dfrac{d\varphi}{d\sx}\cdot\dfrac{d\sx}{ds}$$

$\varphi = \arctan \sv'$ を $\sx$ で微分すると $d\varphi/d\sx = \sv''/(1 + \sv'^2)$ です。また、$ds/d\sx = \sqrt{1 + \sv'^2}$ です。まとめると、

$$\dfrac{1}{\srho} = \dfrac{\sv''}{(1 + \sv'^2)^{3/2}}$$

傾き $\sv'$ が 0.01 rad なら、$\sv'^2$ は 0.0001 で、分母は 1 と見なせます。本文の向きの約束（下に凸を正、たわみは下向きが正）でマイナスを付けたものが、$1/\srho \approx -\sv''$ です。

単純支持ばりの $C_1$：全長に $\sw$ がかかる場合、$\sE\sI\,\sv = -\sw\left(\dfrac{\sL\sx^3}{12} - \dfrac{\sx^4}{24}\right) + C_1 \sx + C_2$ です。左のピンで $\sv(0) = 0$ から $C_2 = 0$、右のピンで $\sv(\sL) = 0$ から $C_1 = \sw\sL^3/24$ になります。1,200 mm・3 N/mm なら、$C_1$ = 216,000,000 N·mm² です。

符号：$\sM$ は、はりが下に凸に曲がる向きを正にしています。たわみ $\sv$ は下向きを正にしているので、そのとき $\sv$ のグラフは山なりで、$\sv''$ は負です。そのため、$\sE\sI\,\sv'' = -\sM$ と、マイナスが付きます。たわみを上向きに正と取る教科書では、$\sE\sI\,\sv'' = \sM$ と書きます。