壊れなくても、たわみすぎたら失敗たわみの制限と、はりの設計

前の単元との違い前の単元までは、寸法からたわみを出しました。この単元では逆に、許されるたわみから寸法を決めます。

壊れていないのに、使えない

棚板に重い箱を載せると、真ん中がたわんで、箱が中央に寄ってきます。工作機械のテーブルが 0.1 mm たわむと、削った面が平らになりません。ロボットの腕の先が 1 mm 下がれば、部品をつかみそこないます。

どれも、折れてはいません。荷重を外せば、元に戻ります。それでも、「使えない」のです。

この単元では、壁から突き出した鋼の腕を、例にします。幅 30 mm、長さ 800 mm で、先に 300 N（約 30 kg）の荷物を下げます。

この腕の高さを、何 mm にすればよいでしょうか。

予想してから読む腕の先が下がってよい量を、半分に厳しくします。たわみから決まる腕の高さは、何倍になる？

A2倍B約 1.41 倍（$\sqrt{2}$）C約 1.26 倍

ここまでの単元では、荷重・スパン・断面から、たわみを計算してきました。この単元では、向きを逆にします。「このくらいまでなら、たわんでよい」を先に決めて、必要な断面を後から決めるのです。これが、はりの設計です。

許されるたわみ（許容たわみ）の言い方

「たわんでよい量」を許容たわみ $\sdeltaAllow$ といいます。言い方は2通りあります。

• スパンに対する比　スパン $\sL$ の $1/\snLim$ 以下、つまり $\sdeltaAllow = \sL/\snLim$。「L/300」「L/500」のように書きます。
• 絶対値　「0.05 mm 以下」のように、長さそのもので決めます。

比で言うのは、棚・床・橋のように、スパンが場面によって違うものです。L/300 なら、スパン 600 mm で 2 mm、1,800 mm で 6 mm、3,000 mm で 10 mm。見た目のたわみ具合が、どの大きさでも同じになります。

絶対値で言うのは、機械です。加工の精度や、物をつかむ位置の精度は、スパンとは関係なく決まるからです。

では、「L/300」や「0.05 mm」という数字は、誰がどう決めているのでしょうか。

建築の2行は、告示の文面で確認した数字です。告示は、計算したたわみに変形増大係数を掛けてから、スパンの 1/250 以下かどうかを確かめます。長い間かかる荷重で、変形が少しずつ増えることを見込むためです。

係数は、木造のはりで 2、鉄骨造のはりで 1 です。木は、重さをかけ続けると変形がじわじわ増えるので、係数が大きくなっています。

下の3行は、規格から引いた数字ではなく、設計の現場で使われる目安です。機械の許容たわみには、全部に通じる決まりはありません。「何 mm 狂うと、製品が不良になるか」から、自分で決めます。

同じ告示には、もう1つ条件があります。せい（はりの高さのこと）がスパンの 1/12（木造）、1/15（鉄骨造）より大きければ、たわみの確認を省いてよい、というものです。背が高いはりなら、たわみを計算しなくてよいのです。

この「スパンに対する高さ」が、あとで大事になります。

設計の手順

はりの設計は、5つの手順です。

1. 荷重と支え方を決める。どこに、どれだけ、どうかかるか。
2. 許容たわみ $\sdeltaAllow$ を決める。
3. たわみの式を、$\sI$ について解く。たわみが $\sdeltaAllow$ ちょうどになる $\sI$ が、「必要な $\sI$」です。
4. 断面を選ぶ。長方形で幅 $\sb$ を決めたら、$\sI = \sb\,\sh^3/12$ から、必要な高さ $\shDef$ が出ます。
5. 曲げ応力も確かめる。$\ssigma = \sMmax/\sZ$ が許容応力 $\ssigmaA$ 以下になる高さ $\shSig$ を出して、2つのうち大きい値を採ります。

鋼の腕で、やってみる

最初の腕で、手順をたどります。許容たわみは L/300、許容応力は 156.7 MPa とします。

手順2。許容たわみ。 $$\sdeltaAllow = \dfrac{\sL}{\snLim} = \dfrac{800}{300} = 2.67\ \mathrm{mm}$$

先端は、2.67 mm まで下がってよいことになります。

手順3。必要な $\sI$。片持ちの先端のたわみ $\sP\,\sL^3/(3\,\sE\,\sI)$（片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重））を、$\sdeltaAllow$ と等しくおきます。両辺に $\sI$ を掛けて、$\sdeltaAllow$ で割ると、$\sI$ について解けます。

$$\sI = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sdeltaAllow} = \dfrac{300 \times 800^3}{3 \times 206{,}000 \times 2.667} = 93{,}204\ \mathrm{mm^4}$$

必要な $\sI$ は 93,204 mm⁴ です。

手順4。高さ。$\sI = \sb\,\sh^3/12$ を、$\sh$ について解きます。

$$\shDef = \sqrt[3]{\dfrac{12\,\sI}{\sb}} = \sqrt[3]{\dfrac{12 \times 93{,}204}{30}} = 33.4\ \mathrm{mm}$$

手順5。応力から決まる高さ。根元の曲げモーメントは $\sMmax = \sP\,\sL$ = 300 × 800 = 240,000 N·mm です。$\sZ = \sb\,\sh^2/6$（断面係数（形の効率））を使って、$\sMmax/\sZ = \ssigmaA$ を $\sh$ について解きます。

$$\shSig = \sqrt{\dfrac{6\,\sMmax}{\sb\,\ssigmaA}} = \sqrt{\dfrac{6 \times 240{,}000}{30 \times 156.7}} = 17.5\ \mathrm{mm}$$

2つのうち大きい値で、必要な高さは 33.4 mm。たわみで決まります。

高さを 34 mm にすると、たわみは 2.53 mm（許容の 95%）、応力は 41.5 MPa（許容の 26%）です。応力には、まだたっぷり余裕があります。

3つの基本の形

同じ手順を、3つの基本の形について、文字のまま行った結果です。許容たわみは $\sdeltaAllow = \sL/\snLim$ です。

たわみの式は、片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重）・単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重）・単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） のものです。応力から決まる高さは、どの支え方でも $\shSig = \sqrt{6\sMmax/(\sb\,\ssigmaA)}$ です。

たわみで決まるか、応力で決まるか

なぜ、腕の例では、応力の高さ（17.5 mm）よりずっと大きな高さが、たわみから出てきたのでしょうか。

たわみと応力の関係を、1段ずつ出してみます。式の形が簡単な、単純支持・中央荷重で考えます。

まず、たわみです。$\sI = \sb\,\sh^3/12$ を入れます。12 と 48 が約分されて、4 が残ります。

$$\sdeltaMax = \dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^3}{4\,\sE\,\sb\,\sh^3}$$

次に、応力です。$\sMmax = \sP\,\sL/4$ を、$\sZ = \sb\,\sh^2/6$ で割ります。6/4 は 3/2 です。

$$\ssigma = \dfrac{\sP\,\sL/4}{\sb\,\sh^2/6} = \dfrac{3\,\sP\,\sL}{2\,\sb\,\sh^2}$$

応力の式を、$\sP$ について解きます。

$$\sP = \dfrac{2\,\sb\,\sh^2\,\ssigma}{3\,\sL}$$

これを、たわみの式に入れます。$\sb$ が消え、$\sh$ は1つだけ残ります。

$$\sdeltaMax = \dfrac{2\,\sb\,\sh^2\,\ssigma}{3\,\sL} \times \dfrac{\sL^3}{4\,\sE\,\sb\,\sh^3} = \dfrac{\ssigma\,\sL^2}{6\,\sE\,\sh}$$

両辺を $\sL$ で割ると、たわみと応力が、1本の式でつながります。

$$\dfrac{\sdeltaMax}{\sL} = \underbrace{c}_{\text{支え方の数}} \times \underbrace{\dfrac{\ssigma}{\sE}}_{\text{ひずみ}} \times \underbrace{\dfrac{\sL}{\sh}}_{\text{細長さ}}$$

単純支持・中央荷重では $c = 1/6$ です。同じやり方で、片持ち・先端荷重は 2/3、単純支持・等分布は 5/24 になります。

• $\ssigma/\sE$ は、材料が伸び縮みする割合（ひずみ）です。応力が許容いっぱいでも、鋼は 156.7/206,000 ≒ 0.00076。0.076% しか伸びません。
• $\sL/\sh$ は、はりの細長さです。細長いほど、わずかなひずみが、スパン全体で積み重なって大きなたわみになります。

境目のスパン÷高さ

応力を許容いっぱい（$\ssigma = \ssigmaA$）にしたとき、たわみがちょうど許容いっぱい（$\sdeltaMax/\sL = 1/\snLim$）になる細長さを探します。

$$\dfrac{1}{\snLim} = c \times \dfrac{\ssigmaA}{\sE} \times \dfrac{\sL}{\sh}$$

$\sL/\sh$ について解きます。

$$\sLhX = \dfrac{\sE}{c\;\snLim\;\ssigmaA}$$

• スパン÷高さが、この値より大きい（細長い）と、応力が許容に届く前に、たわみが先に許容に届きます。たわみで高さが決まります。
• この値より小さい（短くて太い）と、たわみが余っているのに、応力が先に許容に届きます。応力で高さが決まります。

数を入れます。鋼（206 GPa・許容応力 156.7 MPa）、単純支持・中央荷重（$c = 1/6$）、許容たわみ L/300 です。

$$\sLhX = \dfrac{206{,}000}{\frac{1}{6} \times 300 \times 156.7} \approx 26$$

図は、応力をちょうど許容いっぱいにしたはりで、たわみが許容の何%になるかを描いたものです。スパン÷高さに比例して、まっすぐ増えます。100% の線を越えるところが、境目です。

3つの支え方の境目は、次のとおりです（鋼、L/300）。

材料で比べると、境目は $\sE/\ssigmaA$ に比例します。中央荷重・L/300 では、鋼で 26、アルミ（70 GPa、許容応力 70 MPa は目安）で 20、木（9 GPa、許容応力 6 MPa は目安）で 30 です。

許容応力いっぱいのときのひずみ $\ssigmaA/\sE$ は、鋼で 0.076%、アルミで 0.10%、木で 0.067% です。ひずみが小さい材料ほど、境目が大きく、応力で決まる範囲が広くなります。

機械では、たわみが先に決める

機械の許容たわみは、絶対値で言います。要求がとても小さいので、はりは大きな断面になります。

スパン 600 mm、幅 50 mm の鋼の横ばりの真ん中に、3,000 N がかかるとします。

• 許容たわみが 0.05 mm（L/12,000）のとき、必要な高さは 68 mm。応力は、許容の約 7.5% しか使われません。
• 許容たわみを L/300（2 mm）に緩めると、必要な高さは 19.9 mm。3.4分の 1 です。

要求が精密になるほど、はりは「壊れない太さ」から「たわまない太さ」へ変わります。精度が要る機械の部品が、見た目より大きく重いのは、このためです。

どの数字がいちばん効く？

必要な高さが、それぞれの数字を10%変えたとき、どう変わるかを並べます。たわみから決まる高さ $\shDef$ と、応力から決まる高さ $\shSig$ で、効き方が違います。

たわみは、高さの3乗に反比例します。だから、高さの側から見ると、ほかの数字は 1/3 乗でしか効きません。

許容たわみを L/300 から L/500 に厳しくすると（$\snLim$ が 5/3 倍）、たわみから決まる高さは +18.6% です。半分（2倍厳しく）にしても、+26% です。

もう1つ、表から読み取れることがあります。強い材料に替えて許容応力を上げても、たわみから決まる高さは1ミリも変わりません。変わるのは、硬さ $\sE$ だけです（片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） の「強さと硬さ」と同じ話です）。

鋼の腕に戻ると

最初の問いに答えます。幅 30 mm、長さ 800 mm の鋼の腕に、300 N を下げるときです。

• 応力だけで決めると 17.5 mm。たわみを L/300 に収めるには 33.4 mm。必要な高さは 33.4 mm です。
• 腕のスパン÷高さは、800 ÷ 33 ≒ 24。片持ちの境目 6.6 を大きく超えた、細長いはりです。だから、たわみで決まりました。
• ロボットの腕のように 1 mm 以下を求めるなら、さらに高さが要ります。

動かしてみよう

まず、「支え方」と「材料」を選びます。次に、荷重・スパン・許容たわみ（$\snLim$）・幅を入れると、必要な高さが出ます。

• 許容たわみの $\snLim$ を 300 から 1,000 に動かすと、たわみから決まる高さだけが増えます。
• 支え方を「単純支持・中央に集中荷重」にして、スパン $\sL$ を 300 mm まで短くすると、境目を越えて、決めている条件が「たわみ」から「応力」に入れ替わります（片持ちの初期値では、スパンを短くしても入れ替わりません。許容応力を下げるか、荷重を増やすと入れ替わります）。
• 「試す高さ」を必要な高さより小さくすると、ものさしの棒が 100% を越えて、NG になります。たわみだけが NG になる高さも、応力だけが NG になる高さもあります。

支え方を選ぶ選ぶと、下の入力欄が入れ替わります（数字は初期値に戻ります）。材料は、盤の中のボタンで替えられます（数字はそのままです）

片持ち・先端に集中荷重単純支持・中央に集中荷重単純支持・全長に等分布荷重

許容応力 156.7 MPa は、建築用の鋼 SS400 の長期の値（F/1.5）。アルミの許容応力 70 MPa は目安です。合金と調質で大きく変わります。木の E と許容応力 6 MPa は目安です。樹種と等級で大きく変わります。許容応力 σa の欄は、自分で書き換えられます。断面は、幅 b を決めた長方形です。片持ちの盤には「試してみよう」があります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1許容たわみの n を2倍の 600 にして（L/600）、たわみから決まる高さ hδ を見る（まだ）
2. 2許容たわみを戻して、許容応力 σa だけを 40 MPa まで下げる（まだ）
3. 3材料の「鋼」のボタンで許容応力を戻して、試す高さ h だけを 30 mm に下げる（まだ）

鋼（E = 206 GPa）アルミ（E = 70 GPa）木（E = 9 GPa）

P荷重−N＋

Lはりの長さ−mm＋

n許容たわみ（スパンの 1/n）−＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

σa許容応力−MPa＋

b断面の幅−mm＋

h試す高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる必要な高さ（大きい値）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×20

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×20 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{h_{\text{必要}}} = \max(\htmlClass{q-geometry}{h_{\delta}},\ \htmlClass{q-geometry}{h_{\sigma}})$$$$= \max(33.41,\ 17.5)$$$$= 33.41\ \mathrm{mm}\quad(\text{たわみで決まる})$$

必要な高さ（大きい値）

$\htmlClass{q-geometry}{h_{\text{必要}}} = 33.41\ \mathrm{mm}$

たわみから決まる高さ

$\htmlClass{q-geometry}{h_{\delta}} = 33.41\ \mathrm{mm}$

応力から決まる高さ

$\htmlClass{q-geometry}{h_{\sigma}} = 17.5\ \mathrm{mm}$

許容たわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_a} = 2.667\ \mathrm{mm}$

試した高さでの最大たわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = 2.529\ \mathrm{mm}$

試した高さでの最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 41.52\ \mathrm{MPa}$

ほかの値（5 個）

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 240{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$

必要な I（たわみから）

$\htmlClass{q-material}{I_{\text{必要}}} = 93{,}200\ \mathrm{mm^4}$

たわみの使用率（たわみ ÷ 許容たわみ）

$\htmlClass{q-displacement}{\delta/\delta_a} = 0.949\$

応力の使用率（応力 ÷ 許容応力）

$\htmlClass{q-stress}{\sigma/\sigma_a} = 0.265\$

境目のスパン÷高さ

$\htmlClass{q-geometry}{(L/h)_{\text{境目}}} = 6.57\$

途中の計算（導出）を見る

1. 許容たわみ（スパンの 1/n）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_a} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-displacement}{n}} = \dfrac{800}{300} = 2.667\ \mathrm{mm}$$

2. 最大曲げモーメント

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 300 \times 800 = 240{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

3. たわみが許容値になるための I（たわみの式を I について解く）

   $$\htmlClass{q-material}{I_{\text{必要}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-displacement}{\delta_a}} = \dfrac{300 \times 800^3}{3 \times 206{,}000 \times 2.667} = 93{,}200\ \mathrm{mm^4}$$

4. たわみから決まる高さ（長方形：I = b h³/12 を h について解く）

   $$\htmlClass{q-geometry}{h_{\delta}} = \sqrt[3]{\dfrac{12\,\htmlClass{q-material}{I_{\text{必要}}}}{\htmlClass{q-geometry}{b}}} = \sqrt[3]{\dfrac{12 \times 93{,}200}{30}} = 33.41\ \mathrm{mm}$$

5. 応力から決まる高さ（σa = M/Z、Z = b h²/6 を h について解く）

   $$\htmlClass{q-geometry}{h_{\sigma}} = \sqrt{\dfrac{6\,\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_a}}} = \sqrt{\dfrac{6 \times 240{,}000}{30 \times 156.7}} = 17.5\ \mathrm{mm}$$

6. 必要な高さ（2つのうち大きい値）

   $$\htmlClass{q-geometry}{h_{\text{必要}}} = \max(\htmlClass{q-geometry}{h_{\delta}},\ \htmlClass{q-geometry}{h_{\sigma}}) = \max(33.41,\ 17.5) = 33.41\ \mathrm{mm}\quad(\text{たわみで決まる})$$

7. 試す高さでの最大たわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}},\quad \htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \text{98{,}260\ mm}^4\ \text{を使って} = 2.529\ \mathrm{mm}\quad(\delta/\delta_a = 0.949)$$

8. 試す高さでの最大曲げ応力

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{240{,}000}{5{,}780} = 41.52\ \mathrm{MPa}\quad(\sigma/\sigma_a = 0.265)$$

よくある勘違い

「応力が許容以下なら、安全で使える」

応力が合格なら、使える　→　たわみは別に確かめます。

鋼の腕で、高さを 30 mm にすると、応力は許容の 34% で、とても余裕があります。でも、たわみは許容の 1.38 倍です。壊れはしませんが、使えません。

「たわみが許容以内なら、壊れない」

たわみが合格なら、壊れない　→　応力も別に確かめます。

スパンが短くて太いはりは、たわみが許容に収まっていても、応力が許容を超えることがあります。鋼・中央荷重で、スパン 300 mm、幅 20 mm、高さ 45 mm に 20,000 N をかけると、たわみは許容の 36% で OK、応力は許容の 1.42 倍で NG です。

「強い鋼にすれば、細くできる」

応力から決まる高さは、許容応力が上がれば小さくなります。でも、たわみから決まる高さは、硬さ $\sE$ でしか変わりません。

高強度の鋼の $\sE$ は、普通の鋼とほぼ同じです。細長いはりは、強い鋼に替えても、細くできません。

「許容たわみは、法律で決まっている」

決まっているのは、建築のはりの一部（床のはりなど）だけです。機械の許容たわみには、全部に通じる決まりがありません。製品の要求から、設計する人が決めます。

この設計が使える条件

• たわみが、スパンに比べて十分小さい（スパンの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• はり自身の重さは、荷重に含めて考える（この単元の計算には入れていない）
• 断面は、端から端まで同じ長方形で、荷重は高さの方向にかかる
• 高さが、スパンの 1/5 を超えるような、背の高いはりは、せん断によるたわみも出て、この式は合わなくなる（目安）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

必要な高さの式は、たわみの公式を $\sI$ について解いて、$\sI = \sb\sh^3/12$ を代入するだけです。等分布荷重（単純支持）では、たわみを許容たわみと等しくおきます。

$$\sdeltaMax = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI} = \sdeltaAllow = \dfrac{\sL}{\snLim}$$

これを $\sI$ について解きます。

$$\sI = \dfrac{5\,\sw\,\sL^3\,\snLim}{384\,\sE}$$

高さにすると、$\sh^3 = 12\sI/\sb$ なので、$12/384 = 1/32$ で次のようになります。

$$\shDef = \sqrt[3]{\dfrac{5\,\sw\,\sL^3\,\snLim}{32\,\sE\,\sb}}$$

$\snLim$・$\sw$・$\sE$・$\sb$ は 1/3 乗で効きます。許容たわみを L/300 から L/500 に厳しくすると、$(5/3)^{1/3} \approx 1.186$ 倍です。

応力の側は、$\ssigma = \sMmax/\sZ = 6\sMmax/(\sb\sh^2) = \ssigmaA$ を $\sh$ について解きます。

$$\shSig = \sqrt{\dfrac{6\,\sMmax}{\sb\,\ssigmaA}}$$

本文の $c$ は、ほかの支え方でも同じ手順で出ます。片持ち・先端荷重では、$\sdeltaMax = 4\sP\sL^3/(\sE\sb\sh^3)$、$\ssigma = 6\sP\sL/(\sb\sh^2)$ なので、$\sP$ を消すと $\sdeltaMax/\sL = (2/3)(\ssigma/\sE)(\sL/\sh)$ です。単純支持・等分布では、$\sdeltaMax = 5\sw\sL^4/(32\sE\sb\sh^3)$、$\ssigma = 3\sw\sL^2/(4\sb\sh^2)$ から、$c = 5/24$ になります。