タイヤのたった 20 g が、軸を 28 N で引っぱる回転体の不つり合い

タイヤに付いている小さなおもり

車のタイヤを交換すると、お店の人は、タイヤを機械にのせて回します。そのあと、ホイールの縁に、小さな金属のおもりを付けます。これがバランスウエイトです。売られているものは、5 g きざみ・10 g・25 g といった、数グラムから数十グラムのおもりです。

タイヤもホイールも、どこかが少しだけ重くできています。ゴムの厚さのむら、空気を入れる口（バルブ）の重さなどです。このかたよりを不つり合いといいます。

不つり合いのまま高速道路を走ると、ある速さから、ハンドルが小刻みにふるえます。街中では気にならないのに、速く走ると急に出てくるのです。

この単元では、1本のタイヤで考えます。外径 650 mm のタイヤの、中心から 200 mm の所に、20 g の不つり合いがあるとします。このタイヤは、時速 98 km で 1分に 800 回まわります（800 min⁻¹）。

時速 49 km から時速 98 km へ、2倍の速さにすると、この 20 g が軸を引っぱる力は、何倍になるでしょうか。

予想してから読むタイヤを2倍の速さで回すと、ずれた 20 g が軸を引っぱる力は？

A2倍B4倍C8倍

回っている物は、外へ引っぱる

ひもの先におもりを結んで、ぐるぐる回してみます。手は、おもりに外へ引っぱられます。速く回すほど、強く引っぱられます。

おもりは、そのまままっすぐ動き続けようとします。ひもを放すと、円の外へ飛んでいくのは、そのためです。円の上を回り続けさせるには、ひもで、たえず内側へ引き戻す必要があります。

手がひもを内側へ引くのと同じ大きさで、手はひもに外へ引っぱられます。この外向きの力を遠心力といいます。

タイヤでも同じです。重いところは、そのまま動き続けようとします。それを円の上に引き戻しているのは、ホイールと軸です。そのぶん、軸は、重いところの向きへ引っぱられます。

公式はこれ

$$\sftF = \sftM\,\sftR\,\sftOmega^2$$

回転数 $\skrN$ [min⁻¹] は、1分に回る回数です。1回は $2\pi$ rad、1分は 60 秒なので、$\sftOmega = 2\pi\,\skrN/60$ で角速度に直します。

3つのかたまりに分けて読む

$$\sftF = \underbrace{\sftM}_{\text{ずれた質量}} \times \underbrace{\sftR}_{\text{中心からの距離}} \times \underbrace{\sftOmega^2}_{\text{回る速さの2乗}}$$

1. ずれた質量 $\sftM$　重いところが2倍重ければ、力も2倍です。重さではなく、質量（動き続けようとする性質）で決まります。
2. 中心からの距離 $\sftR$　同じ 20 g でも、中心から遠いほど、大きな円を回ります。同じ時間に1回りするので、遠いほど速く動き、力が大きくなります。2倍外なら2倍です。
3. 回る速さの2乗 $\sftOmega^2$　回転を2倍速くすると、2つのことが同時に起きます。おもりが動く速さが2倍になります。しかも、向きを変える回数（1秒に回る回数）も2倍になります。2 × 2 で4倍です。

$\sftM$ と $\sftR$ は、いつも掛け算でいっしょに出てきます。この $\sftU$ を不つり合いの量といい、g·mm で表します。20 g × 200 mm = 4,000 g·mm です。

タイヤで確かめる

使う式は、$\sftF = \sftM\,\sftR\,\sftOmega^2$ です。質量は kg、距離は m に直して入れます。

$$\sftOmega = \dfrac{2\pi \times 800}{60} = 83.78\ \mathrm{rad/s}$$ $$\sftF = 0.020 \times 0.200 \times 83.78^2 = 28.1\ \mathrm{N}$$

28.1 N は、約 2.9 kg の物をつるしたときの重さと同じです。20 g のおもり自身の重さ（0.196 N）の、143 倍です。

時速 49 km（400 min⁻¹）なら、角速度は半分の 41.89 rad/s です。

$$\sftF = 0.020 \times 0.200 \times 41.89^2 = 7.02\ \mathrm{N}$$

28.1 ÷ 7.02 = 4。速さ2倍で、力は4倍です。

重心のずれで言い直す

タイヤとホイールを合わせた質量を $\sftMw$ = 20 kg とします。20 g の不つり合いがあると、全体の重心は、回転の中心から少しずれます。そのずれを $\sftE$ とすると、材料力学の 図心（断面の中心） で出したシーソーの決まり「質量 × 距離」から、

$$\sftMw\,\sftE = \sftM\,\sftR \qquad \sftE = \dfrac{20 \times 200}{20{,}000} = 0.2\ \mathrm{mm}$$

重心がたった 0.2 mm ずれているだけで、時速 98 km では 28.1 N の力が出ます。同じ力は、$\sftF = \sftMw\,\sftE\,\sftOmega^2$ でも求められます。

つり合いの良さには国際規格（ISO 21940-11）があり、この $\sftE$ と、使うときの角速度 $\sftOmega$ を掛けた大きさで、等級を決めています。速く回る物ほど、重心のずれを小さくしなければなりません。

重心のずれ $\sftE$ は、次の 危険速度 でも主役になります。そこでは、この力で軸そのものがたわみます。

どの数字がいちばん効く？

それぞれを1割（10%）だけ大きくしたとき、遠心力がどう変わるかです。

回転数は、ほかの2つの2倍効きます。

回る力は、上下にゆする力になる

遠心力の向きは、重いところといっしょに回ります。重いところが真上に来たときは軸を上へ、真下に来たときは下へ引っぱります。

だから車体は、タイヤが1回まわるごとに1回、上下にゆすられます。800 min⁻¹ なら、1秒に 800 ÷ 60 = 13.3 回です。

ハンドルのふるえが「ある速さで」急に出てくるのは、2つのことが重なるからです。1つは、速いほど力が2乗で大きくなること。もう1つは、ゆする回数が、ハンドルやサスペンションのゆれやすい振動数（固有振動数）に近づくことです。強制振動と共振 のブランコと同じで、押すタイミングが合うと、ゆれは大きくなります。

1か所で直すか、2か所で直すか

不つり合いには、2つの形があります。

静不つり合い（左）。重いところが、タイヤの幅の真ん中に1つあります。重心が軸からずれていて、回さなくても、重いところが下に来て止まります。反対側に1つおもりを付ければ直ります。

偶不つり合い（右）。同じ質量のずれが、内側の面の上と、外側の面の下に1つずつあります。2つの遠心力は、大きさが同じで向きが反対なので、足すと 0 です。重心は軸の上にあり、止めておけば、どこで止めてもつり合います。

ところが回すと、2つの力が、左右にずれた所で上と下に引っぱります。タイヤは、首を振るようにゆれます。1か所のおもりでは、これを消せません。

塗った四角がずれた質量、点線の四角が補正のおもりです。タイヤのつり合いを調べる機械は、タイヤを回して、内側の面と外側の面それぞれで、どこに何 g 足せばよいかを出します。

タイヤに戻る

最初の問いに戻ります。中心から 200 mm の所に 20 g。時速 98 km（800 min⁻¹）で、軸は 28.1 N で引っぱられます。時速 49 km の 7.02 N の4倍です。

20 g のおもりを、反対側の 200 mm の所に付ければ、この力は消えます。

動かしてみよう

回転数 $\skrN$ を 800 から 1,600 へ動かして、矢印と下の曲線の点を見てください。曲線は、まっすぐではなく、上へ反っています。2乗で増えるからです。

次に、質量 $\sftM$ と距離 $\sftR$ を、片方を2倍、もう片方を半分にしてみてください。力は変わりません。

最後に、不つり合いの形を「偶」に切り替えてください。横から見ると、2つの遠心力が反対を向いています。下の波形（上下の力の合計）は平らになりますが、右の前から見たタイヤは、首を振っています。

タイヤは実際には速すぎて見えないので、はじめは 1/20 の速さで動かしています。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、上下の力の波形を重ねて比べられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1回転数 N を2倍の 1,600 min⁻¹ にして、下の曲線の点を見る（m・r は初期値のまま）（まだ）
2. 2回転数を 800 に戻し、同じ 20 g を、半分の半径 100 mm に置く。矢印と ×N を見る（まだ）
3. 3初期値に戻し、形を「偶」に切り替える。前から見たタイヤと、下の波形を見る（まだ）

m不つり合いの質量（中心からずれた質量）−g＋

r回転の中心からの距離−mm＋

N回転数−min⁻¹＋

形不つり合いの形

静（真ん中に1つ）偶（内の上と外の下）

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.0000 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる遠心力（軸が受ける力）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{F} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{r}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}^2$$$$= 0.02 \times 0.2 \times 83.78^2$$$$= 28.1\ \mathrm{N}$$

不つり合いの量

$\htmlClass{q-material}{m\,r} = 4{,}000\ \mathrm{g\cdot mm}$

角速度

$\htmlClass{q-flow}{\omega} = 83.78\ \mathrm{rad/s}$

1秒に回る回数（力がふれる振動数）

$\htmlClass{q-flow}{f} = 13.33\ \mathrm{Hz}$

遠心力（軸が受ける力）

$\htmlClass{q-force}{F} = 28.1\ \mathrm{N}$

遠心力 ÷ おもりの重さ

$\htmlClass{q-force}{F/mg} = 143\$

車の速さ（外径 650 mm のタイヤ）

$\htmlClass{q-flow}{v} = 98\ \mathrm{km/h}$

途中の計算（導出）を見る

1. 不つり合いの量（ずれた質量 × 中心からの距離）

   $$\htmlClass{q-material}{m\,r} = 20 \times 200 = 4{,}000\ \mathrm{g\cdot mm}$$

2. 角速度（1秒に回る角度）

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega} = \dfrac{2\pi\,\htmlClass{q-flow}{N}}{60} = \dfrac{2\pi \times 800}{60} = 83.78\ \mathrm{rad/s}$$

3. 1秒に回る回数（力が上下にふれる振動数）

   $$\htmlClass{q-flow}{f} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{N}}{60} = \dfrac{800}{60} = 13.33\ \mathrm{Hz}$$

4. 遠心力（軸が受ける力）。g は kg に、mm は m に直す

   $$\htmlClass{q-force}{F} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{r}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}^2 = 0.02 \times 0.2 \times 83.78^2 = 28.1\ \mathrm{N}$$

5. おもり自身の重さの何倍か

   $$\dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-material}{m}\,g} = \dfrac{28.07}{0.02 \times 9.81} = 143$$

よくある勘違い

「速さを2倍にすれば、力も2倍」

力は回る速さに比例する。力は、回る速さの2乗に比例します。

「重心が軸の上にあれば、つり合っている」

止まっているときは、つり合っています。けれども、回すと首を振ることがあります。上で見た偶不つり合いです。止めたまま調べるだけでは見つからないので、タイヤは回して調べます。

「おもりには、外へ飛び出そうとする力がはたらいている」

外へ向かう力がおもりを押しているのではありません。おもりは、まっすぐ動き続けようとしているだけです。ホイールと軸が、それを内側へ引き戻しています。軸が外へ引っぱられるのは、その引き戻す力の反作用です。どちらの見方でも、軸が受ける力の大きさは $\sftM\,\sftR\,\sftOmega^2$ で同じです。

この公式が使える条件

• 回る物は硬く、回っても形が変わらない（軸がたわむときは、次の 危険速度）
• 回る速さは一定
• 不つり合いの質量は、中心からの距離 $\sftR$ の1点にあると見なせる

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

円の上を回る点の加速度：半径 $\sftR$ の円を、角速度 $\sftOmega$ で回る点の位置は、

$$x = \sftR\cos\sftOmega t,\qquad y = \sftR\sin\sftOmega t$$

時間で2回微分すると、

$$\ddot x = -\sftR\,\sftOmega^2\cos\sftOmega t,\qquad \ddot y = -\sftR\,\sftOmega^2\sin\sftOmega t$$

加速度の大きさは $\sftR\,\sftOmega^2$ で、向きは中心向き（位置と反対向き）です。微分するたびに $\sftOmega$ が1つずつ前に出るので、2回で $\sftOmega^2$ になります。本文の「速さが2倍・向きを変える回数が2倍」は、この2回の微分のことです。

質量 $\sftM$ にこの加速度を生むには、中心向きに $\sftM\,\sftR\,\sftOmega^2$ の力が要ります。軸は、その反作用で、外へ同じ大きさの力を受けます。

上下の成分：重いところが右（真横）にあった時刻を 0 とすると、軸が受ける上下の力は $\sftF\sin\sftOmega t$ です。1秒に $\skrN/60$ 回、上下にゆすられます。

重心のずれ：全体の質量 $\sftMw$ のうち、$\sftM$ が半径 $\sftR$ にあり、残りは中心に対してつり合っているとすると、重心の位置は $\sftE = \sftM\,\sftR/\sftMw$。軸が受ける力は、全体の重心が半径 $\sftE$ を回ると見ても $\sftMw\,\sftE\,\sftOmega^2 = \sftM\,\sftR\,\sftOmega^2$ で同じです。

偶不つり合い：2つの面の間の距離を $\ell$ とします。内側の面の上と、外側の面の下に、同じ $\sftM\,\sftR$ があると、2つの力は足して 0 ですが、$\sftM\,\sftR\,\sftOmega^2 \times \ell$ の「回す効き目」（モーメント）が残ります。これも $\sftOmega$ と一緒に回るので、軸は首を振るようにゆすられます。消すには、2つの面のそれぞれに、反対向きのおもりを付けます。