回転を上げていくと、ある速さで軸が暴れだす危険速度

回る軸は、ある回転数で大きくふれる

工場やビルの空調には、大きな羽根車を回す送風機があります。羽根車は、鋼の軸の真ん中に付いていて、軸の両端を軸受が支えています。

送風機を回し始めると、回転数がだんだん上がります。その途中の、ある回転数で、機械全体がうなるようにふるえることがあります。そこを過ぎると、また静かになります。

この単元では、1台の送風機で考えます。鋼の軸は直径 30 mm、軸受の間は 800 mm。真ん中に 30 kg の羽根車（円板）が付いています。羽根車の重心は、軸の中心から 0.1 mm ずれています。

回転数を少しずつ上げていくと、軸のふれは、どう変わるでしょうか。

予想してから読む回転数を上げていくと、軸のふれまわりは？

A速くするほど、大きくなり続けるBある回転数で大きくなり、それより速いと小さくなるC回転数に関係なく、いつも同じ

軸は、ばねになる

軸受の間の軸は、材料力学の 単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） と同じ形です。真ん中を押すと、少したわみ、手を放すと戻ります。つまり、軸はばねです。

真ん中に力 $\sP$ をかけたときのたわみは $\sP\,\skkL^3/48\sE\sI$ でした。力 ÷ たわみが、ばね定数です（ばねのつなぎ方と、はり・軸のばね定数）。

$$\skrk = \dfrac{\sP}{\sP\,\skkL^3/48\,\sE\,\sI} = \dfrac{48\,\sE\,\sI}{\skkL^3}$$

ばね（軸）と、おもり（円板）がそろったので、1自由度の自由振動（ばねと質量） の固有振動数が決まります。

公式はこれ

$$\skkOmegaC = \sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}} \qquad \skrk = \dfrac{48\,\sE\,\sI}{\skkL^3} \qquad \skkNc = \dfrac{60\,\skkOmegaC}{2\pi}$$

危険速度は、軸の固有振動数を、回転数の単位 min⁻¹ で言い直したものです。1秒に $f_c$ 回ゆれる軸なら、1分に $60 f_c$ 回まわすと危険です。

綱引きで読む

1自由度の自由振動（ばねと質量） の綱引きと同じです。軸は、たわみを戻そうとします（$\skrk$）。円板は、そのまま動き続けようとします（$\skrm$）。

$$\skkOmegaC = \sqrt{\underbrace{\dfrac{48\,\sE\,\sI}{\skkL^3}}_{\text{軸が戻そうとする強さ}} \Big/ \underbrace{\skrm}_{\text{円板が動き続けようとする強さ}}}$$

1. 軸が戻そうとする強さ $\skrk$　太さは4乗（$\sI$ が直径の4乗）で効きます。長さは3乗で効き、長いほど弱くなります。
2. 円板が動き続けようとする強さ $\skrm$　重い円板ほど、ゆれは遅くなります。
3. √ がかかる　太さ2倍で $\skrk$ は 2⁴ = 16倍、危険速度は √16 = 4倍です。長さ2倍なら $\skrk$ は 1/8、危険速度は 1/2.83 です。

送風機で確かめる

使う式は、$\skrk = 48\sE\sI/\skkL^3$ と $\skkOmegaC = \sqrt{\skrk/\skrm}$ です。まず軸の断面二次モーメントです。

$$\sI = \dfrac{\pi \times 30^4}{64} = 39{,}761\ \mathrm{mm^4}$$

軸のばね定数です。

$$\skrk = \dfrac{48 \times 206{,}000 \times 39{,}761}{800^3} = 767.9\ \mathrm{N/mm}$$

1 mm たわませるのに 767.9 N。N/m に直すと 767,900 N/m です。

$$\skkOmegaC = \sqrt{\dfrac{767{,}900}{30}} = 160.0\ \mathrm{rad/s}$$

振動数に直すと 160.0 ÷ 2π = 25.5 Hz。1分あたりの回転数に直すと、

$$\skkNc = \dfrac{60 \times 160.0}{2\pi} = 1{,}528\ \mathrm{min^{-1}}$$

この送風機は、1分に 1,528 回まわすと、軸が大きくふれまわります。

別の見方でも確かめます。軸を横にして止めておくと、30 kg の重さ 294.3 N で、軸の真ん中は 294.3 ÷ 767.9 = 0.383 mm 下がります。1自由度の自由振動（ばねと質量） で見たとおり、自重で下がる量 $\skrDst$ から、$\skkOmegaC = \sqrt{\skrG/\skrDst} = \sqrt{9.81/0.000383} = 160.0\ \mathrm{rad/s}$。同じ値です。

なぜ危険速度で大きくふれるのか

回転体の不つり合い で見たとおり、重心がずれた円板を回すと、軸は重心の向きへ引っぱられます。その向きは、円板といっしょに回ります。

軸は、ばねです。その軸を、1回まわるごとに1回、ぐるりと押していることになります。押す回数が、軸の固有振動数に一致すると、強制振動と共振 のブランコと同じで、押すたびにゆれが大きくなります。これが危険速度です。

ふれの大きさは、次の式で決まります（導き方は最後に畳んであります）。軸の中心が回る円の半径を、軸のふれ $\skkR$ とします。

$$\skkR = \skkE\,\dfrac{(\skkRho)^2}{\left|1 - (\skkRho)^2\right|}$$

$\skkRho$ は、回す速さが危険速度の何倍かです。1 に近づくと分母が 0 に近づき、ふれは限りなく大きくなります。本当の軸では、減衰があるので有限で止まりますが、軸受や円板がこすれたり、軸が曲がったりするほど大きくなることがあります。

送風機を 1,000 min⁻¹ で回すと、$\skkRho$ = 1,000 ÷ 1,528 = 0.655。

$$\skkR = 0.1 \times \dfrac{0.655^2}{1 - 0.655^2} = 0.075\ \mathrm{mm}$$

1,500 min⁻¹ まで上げると、0.982 倍で、ふれは 2.68 mm。重心のずれの約 27 倍です。

危険速度を超えると重心が内側へ回り込む

危険速度より速く回すと、ふしぎなことが起きます。円板の重心 G が、軸の中心 S と、軸受の中心 O の間に入り込むのです。

• 危険速度より遅いとき：O → S → G の順に並びます。重心は、軸のふれの、さらに外側を回ります。
• 危険速度より速いとき：O → G → S の順に並びます。軸は重心と反対の側へ曲がり、重心は内側（O の側）を回ります。

円板が回るのが速すぎて、軸のばねは、ついていけません。強制振動と共振 で、固有振動数より速く揺すると、おもりが押す力と逆向きに動いたのと同じです。

重心が回る円の半径 $\skkA$ は、

$$\skkA = \dfrac{\skkE}{\left|1 - (\skkRho)^2\right|}$$

$\skkRho = \sqrt{2}$ のとき、分母は |1 − 2| = 1 で、$\skkA = \skkE$ です。それより速いと、$\skkA$ は $\skkE$ より小さくなります。危険速度の2倍（送風機なら 3,056 min⁻¹）では、分母は |1 − 4| = 3 で、$\skkA = \skkE/3$。重心は、ずれ 0.1 mm の 3分の1 の円を回ります。

重心が、回転の中心に自分から寄っていくので、これを自動調心といいます。軸受が受ける力は、曲がらない硬い軸のときの $\skkA/\skkE$ 倍で済みます。

速く回すほど、軸のふれは $\skkE$ に近づき、重心の円は 0 に近づきます。

発電所の蒸気タービンのように、長くて重い軸を速く回す機械には、危険速度より速いところで使うものがあります。そういう機械は、回し始めと止めるときに、危険速度をすばやく通り過ぎます。

どの数字がいちばん効く？

それぞれを1割（10%）だけ大きくしたとき、危険速度がどう変わるかです。

軸の太さと長さが、円板の質量よりずっと効きます。重心のずれ $\skkE$ は、危険速度を変えません。変えるのは、ふれの大きさだけです。

送風機に戻る

最初の問いに戻ります。直径 30 mm・軸受の間 800 mm の鋼の軸に、30 kg の羽根車。危険速度は 1,528 min⁻¹ です。

回転数を上げていくと、ふれは 1,528 min⁻¹ に向かって大きくなり、そこを過ぎると小さくなります。2倍の 3,056 min⁻¹ では、重心は 0.1 mm の 3分の1 の円を回ります。

1,000 min⁻¹ で使うなら、軸のふれは 0.075 mm です。危険速度の 0.655 倍で、十分に離れています。

動かしてみよう

回転数 $\skrN$ を 1,000 から、1,500、3,060 と上げて、左の円板の図で G（重心）と S（軸の中心）の並びを見てください。危険速度を越えたところで、G が O の側へ回り込みます。下のふれの曲線では、いまの速さに点が付きます。曲線の縦軸は、目盛りが1つ上がるごとに10倍になります（0.01・0.1・1・10・100）。危険速度の近くの約27倍も、2倍の速さの約3分の1も、同じグラフで読めます。

次に、軸の直径 $\skkD$ を変えて、危険速度がどれだけ動くかを見てください。

軸は実際には速すぎて見えないので、はじめは 1/20 の速さで動かしています。ふれは 300 倍に拡大して描いています。図は、回し続けたあとの落ち着いた回り方（定常のふれまわり）で、回し始めの様子は含みません。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1回転数 N を 1,500 min⁻¹ にして、危険速度に近づける（まだ）
2. 2危険速度の約2倍、N = 3,060 min⁻¹ で回す（まだ）
3. 3軸の直径 d を2倍の 60 mm にする（ほかは初期値）（まだ）

d軸の直径−mm＋

L軸受の間の長さ−mm＋

m質量−kg＋

e円板の重心のずれ−mm＋

N回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.0000 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる軸のふれ（軸の中心が回る円の半径）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{r} = \htmlClass{q-geometry}{e}\,\dfrac{(\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c})^2}{\left|1 - (\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c})^2\right|}$$$$= 0.1 \times \dfrac{0.655^2}{\left|1 - 0.655^2\right|}$$$$= 0.075\ \mathrm{mm}$$

ばね定数

$\htmlClass{q-material}{k} = 767.9\ \mathrm{kN/m}$

危険角速度（軸の固有角振動数）

$\htmlClass{q-flow}{\omega_c} = 160\ \mathrm{rad/s}$

危険速度

$\htmlClass{q-flow}{N_c} = 1{,}528\ \mathrm{min^{-1}}$

回す速さ ÷ 危険速度

$\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c} = 0.655\$

軸のふれ（軸の中心が回る円の半径）

$\htmlClass{q-displacement}{r} = 0.075\ \mathrm{mm}$

重心が回る円の半径

$\htmlClass{q-displacement}{a} = 0.175\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 軸の断面二次モーメント（丸棒）

   $$\sI = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^4}{64} = \dfrac{\pi \times 30^4}{64} = 39{,}760\ \mathrm{mm^4}$$

2. 軸のばね定数（両端を支えた軸の中央。鋼 E = 206 GPa）

   $$\htmlClass{q-material}{k} = \dfrac{48\,\sE\,\sI}{\htmlClass{q-geometry}{L}^3} = \dfrac{48 \times 206{,}000 \times 39{,}760}{800^3} = 767.9\ \mathrm{N/mm} = 767.9\ \mathrm{kN/m}$$

3. 危険角速度（軸と円板の固有角振動数）

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_c} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k}}{\htmlClass{q-material}{m}}} = \sqrt{\dfrac{767{,}900}{30}} = 160\ \mathrm{rad/s}$$

4. 危険速度（1分に回る回数に直す）

   $$\htmlClass{q-flow}{N_c} = \dfrac{60\,\htmlClass{q-flow}{\omega_c}}{2\pi} = \dfrac{60 \times 160}{2\pi} = 1{,}528\ \mathrm{min^{-1}}$$

5. 回す速さ ÷ 危険速度

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{N}}{\htmlClass{q-flow}{N_c}} = \dfrac{1{,}000}{1{,}528} = 0.655$$

6. 軸のふれ（減衰なし）

   $$\htmlClass{q-displacement}{r} = \htmlClass{q-geometry}{e}\,\dfrac{(\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c})^2}{\left|1 - (\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c})^2\right|} = 0.1 \times \dfrac{0.655^2}{\left|1 - 0.655^2\right|} = 0.075\ \mathrm{mm}$$

7. 重心が回る円の半径

   $$\htmlClass{q-displacement}{a} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{e}}{\left|1 - (\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_c})^2\right|} = \dfrac{0.1}{\left|1 - 0.655^2\right|} = 0.175\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「危険速度は、軸が弱くて壊れる速さ」

危険速度は、強さ（どこまで耐えられるか）ではなく、硬さ（ばね定数）と質量で決まります。強い鋼に替えても、縦弾性係数 $\sE$ がほぼ同じなので、危険速度は変わりません。危険なのは、その速さでふれが大きくなるからです。

「速く回すほど、ふれは大きくなる」

速く回すほど、ふれは大きくなる。ふれは危険速度でいちばん大きくなり、それより速いと小さくなります。遠心力は回転数の2乗で増えますが、危険速度を超えると、軸は重心と反対側へ曲がり、重心は中心へ寄っていきます。

角速度・振動数・回転数を取り違える

送風機の危険速度は、同じ1つの速さを、3つの単位で言えます。

$\skkOmegaC$ の 160 を、そのまま min⁻¹ と読むと、危険速度を 10 分の1 近く低く見積もってしまいます。

この公式が使える条件

• 軸の質量は、円板に比べて小さいとして考えない。円板は軸受の間の真ん中にある
• 軸受は、軸の端を支えるだけで、傾きはしばらない（単純支持）。軸受や台は動かない
• 円板の傾き（首振り）は考えない。円板が軸の真ん中にあれば、たわんでも傾かない
• 減衰は考えない。危険速度のすぐ近くでは、ふれは実際より大きく出る
• 一定の速さで回し続けたあとの、落ち着いた回り方（定常のふれまわり）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

円板といっしょに回る見方で、つり合いを考える：一定の角速度 $\skkOmega$ で回り続けると、O・S・G は1本の直線の上に並んだまま、いっしょに回ります。軸の中心のふれを $\skkR$（G と同じ側を正）とすると、重心は O から $\skkR + \skkE$ の所を回ります。

円板を円の上に引き戻す力（中心向き）は、軸が戻そうとする力 $\skrk\,\skkR$ です。重心が半径 $\skkR + \skkE$ の円を回るのに要る力は、回転体の不つり合い の $\skrm\,(\skkR + \skkE)\,\skkOmega^2$ です。この2つが等しいので、

$$\skrk\,\skkR = \skrm\,(\skkR + \skkE)\,\skkOmega^2$$

$\skkR$ を左にまとめます。

$$(\skrk - \skrm\,\skkOmega^2)\,\skkR = \skrm\,\skkE\,\skkOmega^2$$

両辺を $\skrk$ で割り、$\skrm/\skrk = 1/\skkOmegaC^2$ を使うと、

$$\skkR = \skkE\,\dfrac{(\skkOmega/\skkOmegaC)^2}{1 - (\skkOmega/\skkOmegaC)^2}$$

$\skkOmega > \skkOmegaC$ では分母が負になり、$\skkR$ は負、つまり軸は G と反対の側へ曲がります。重心の位置は

$$\skkR + \skkE = \dfrac{\skkE}{1 - (\skkOmega/\skkOmegaC)^2}$$

で、この大きさが本文の $\skkA$ です。$\skkOmega/\skkOmegaC = \sqrt{2}$ で $|1 - 2| = 1$ なので、$\skkA = \skkE$ になります。

軸受が受ける力：軸受は、合わせて $\skrk\,|\skkR| = \skrm\,\skkA\,\skkOmega^2$ の力を受けます。硬い軸なら重心は半径 $\skkE$ を回るので $\skrm\,\skkE\,\skkOmega^2$。比は $\skkA/\skkE = 1/|1 - (\skkOmega/\skkOmegaC)^2|$ で、防振（揺れを床に伝えない） の伝達率と同じ形です。

時間で追う見方：軸の中心の位置を、横 $x$・縦 $y$ とすると、円板の重心は $(x + \skkE\cos\skkOmega t,\ y + \skkE\sin\skkOmega t)$ にあります。運動の式は

$$\skrm\,\dfrac{d^2}{dt^2}(x + \skkE\cos\skkOmega t) = -\skrk\,x,\qquad \skrm\,\dfrac{d^2}{dt^2}(y + \skkE\sin\skkOmega t) = -\skrk\,y$$

整理すると $\skrm\,\ddot x + \skrk\,x = \skrm\,\skkE\,\skkOmega^2\cos\skkOmega t$。強制振動と共振 の強制振動の式で、押す力の大きさが $\skrm\,\skkE\,\skkOmega^2$（回転数の2乗で増える）になったものです。縦も同じで、2つを合わせると、半径 $|\skkR|$ の円になります。