ゴムを柔らかくすると、床に伝わる揺れは6分の1防振（揺れを床に伝えない）

屋上の機械の揺れは、下の部屋に響く

建物の屋上やベランダには、空調の室外機やコンプレッサ（空気を押し縮める機械）が置かれます。中では、モータや羽根が回っています。回る部分にわずかなかたよりがあると、機械は上下に揺する力を出し続けます。

この力が床にそのまま伝わると、建物の床や壁が揺れ、下の部屋で「ブーン」という音や揺れになります。そこで、機械と床の間に、ゴムやばねをはさみます。これを防振といいます。

この単元では、1台の機械で考えます。質量 40 kg の機械が、1分に 1,500 回（1,500 min⁻¹）回っています。1秒に 25 回なので、揺れの振動数は 25 Hz です。機械は、上下に振幅 200 N の力を出しています。

防振ゴムは3種類あります。ゴム全体のばね定数が、1,600 kN/m（硬い）、400 kN/m（中くらい）、100 kN/m（柔らかい）です。減衰比は、どれも 0.05 とします。

床に伝わる力がいちばん小さいのは、どのゴムでしょうか。そのとき、床には何 N の力が伝わるでしょうか。

予想してから読む40 kg の機械が 25 Hz で揺する力を出す。床に伝わる力がいちばん小さくなるゴムは？

A硬いゴム（1,600 kN/m）B中くらいのゴム（400 kN/m）C柔らかいゴム（100 kN/m）

床に伝わる力は、ばねとダンパを通る

防振ゴムに載せた機械は、床にじかに触れていません。床を押すのは、ゴムだけです。ゴムは、ばね（ばね定数 $\skrk$）とダンパ（減衰係数 $\skrc$）を並べたものと見ます。

機械が $x$ だけ下がると、ばねは $\skrk\,x$、ダンパは $\skrc\,\dot{x}$（速さに比例）の力で、床を押します。床に伝わる力の振幅 $\skrFt$ と、機械が出す力の振幅 $\skrFZero$ の比を、伝達率といいます。

$$\skrTR = \dfrac{\skrFt}{\skrFZero}$$

伝達率が 1 より小さければ、ゴムが力を減らしています。1 より大きければ、ゴムが力をふくらませています。

伝達率の式を読む

$$\skrTR = \dfrac{\sqrt{\overbrace{1}^{\text{ばね}} + \overbrace{(2\skrZeta\,r)^2}^{\text{ダンパ}}}}{\sqrt{\underbrace{(1-r^2)^2 + (2\skrZeta\,r)^2}_{\text{機械の揺れやすさ}}}}$$

$r$ は、揺れの振動数が固有振動数の何倍かを表す振動数比です（強制振動と共振）。

1. 分母：機械の揺れやすさ　前の単元の振幅倍率と同じ形です。機械がどれだけ大きく揺れるかを表します。
2. 分子：ばねとダンパが床を押す力　1 はばねの分、$2\skrZeta\,r$ はダンパの分です。ダンパの力の山は、ばねの力の山から 1/4 周期ずれているので、2乗して足して √ をとります。

前の単元の振幅倍率に、分子の「ダンパの分」が掛かったものが、伝達率です。ダンパは機械の揺れを抑えますが、ダンパ自身も床を押します。

床に伝わる力が減るのは、柔らかいばねのときだけ

$r = \sqrt{2}$ を入れてみます。$(1 - r^2)^2 = (1-2)^2 = 1$ なので、分母の中身が分子の中身と同じになります。

$$\skrTR = \dfrac{\sqrt{1 + (2\skrZeta\sqrt{2})^2}}{\sqrt{1 + (2\skrZeta\sqrt{2})^2}} = 1$$

減衰比がいくつでも、$r = \sqrt{2}$ で伝達率はちょうど 1 です。それより遅い側（$r < \sqrt{2}$）では1より大きく、速い側（$r > \sqrt{2}$）では1より小さくなります。

$r > \sqrt{2}$ を、固有振動数の側から言い直すと、こうなります。

$$\skrFn < \dfrac{\skrF}{\sqrt{2}} \fallingdotseq 0.71\,\skrF$$

固有振動数を、揺れの振動数の約0.71倍より低くしたときだけ、床に伝わる力は減ります。固有振動数を下げるには、ばねを柔らかくします。

3種類のゴムで確かめます（40 kg、25 Hz、ζ = 0.05）。

硬いゴムは、防振になりません。固有振動数 31.8 Hz が揺れの 25 Hz に近く、共振の山の手前にいるので、200 N の力を 513 N にふくらませて床へ伝えます。機械をボルトで床にじかに留めたときより、悪くなります。

柔らかいゴムでは、床に伝わる力は 23.6 N です。400 kN/m のゴムの、約6分の1です。

柔らかさは、沈む量で分かる

1自由度の自由振動（ばねと質量） で、自重で何 mm 下がるか（静たわみ $\skrDst$）が分かれば、固有振動数が分かることを見ました。

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\skrG}{\skrDst}} \fallingdotseq \dfrac{15.76}{\sqrt{\skrDst\,[\mathrm{mm}]}}\ \mathrm{Hz}$$

機械をゴムに載せて、何 mm 沈むかを見れば、防振が効くかどうかが分かります。沈む量が大きいほど、柔らかいゴムです。

どちらも同じ 40 kg の機械です。破線は、載せる前のゴムの上の面の高さです。柔らかいゴムほど深く沈み、固有振動数が低くなります（沈む量は、左右とも同じ倍率で大きくして描いています）。

この単元の機械（25 Hz）なら、境目の固有振動数は $25/\sqrt{2} = 17.7$ Hz です。沈む量に直すと、0.795 mm です。

ゴムを4倍柔らかくすると、沈む量は4倍、固有振動数は2分の1、振動数比は2倍です。√2 より速い側では、減衰を考えないときの伝達率は $1/(r^2 - 1)$ です。$r$ が2倍になると、伝達率は4分の1より小さくなります。表の 0.686 → 0.118 です。

材料力学の 片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） で求めた「たわみ」も、同じ静たわみです。機械を、細い片持ちの台に載せても、沈む量が大きければ防振になります。

減衰の効き方は、境目で逆になる

減衰（ダンパ）は、振動を弱めるものです。でも、防振では、いつも良いとは限りません。

固有振動数ぴったりでは、減衰が共振の山を抑えます。伝達率は 10.0 から 1.94 に下がります。

柔らかいゴムで防振が効いているところでは、逆です。機械はほとんど揺れていないので、ばねの力は小さくなっています。代わりに、ダンパの力が目立ちます。ダンパの力は速さに比例し、速く揺れるほど大きくなります。だから、減衰を強めると、床に伝わる力が増えます。

どの数字がいちばん効く？

400 kN/m のゴム（伝達率 0.686、床に伝わる力 137 N）から、それぞれの数字を1割（10%）だけ変えます。

ここでは、回転数を上げるのが最もよく効きます。ただし、回転数は機械の仕事で決まるので、ふつうは変えられません。設計で選べるのは、ゴムの柔らかさです。

動かしてみよう

ゴムのばね定数 $\skrk$ を、400 kN/m から少しずつ小さくしてみてください。床の下の朱の矢印（床に伝わる力）が短くなります。次に、大きくして、1,000 kN/m の近くを通ってみてください。固有振動数が 25 Hz に重なり、床に伝わる力がふくらみます。

盤の下のグラフは、伝達率の曲線です。強制振動と共振 の共振曲線と、軸・目盛り・線の決まりをそろえています。縦軸は、1 から 10 までと、0.1 から 1 までが、同じ幅になる目盛り（対数の目盛り）です。どの線も、√2 の縦の案内線で、1倍の横の線を通ります。

機械の揺れは速いので、はじめは 1/20 の速さで動かしています。機械のゆれは 1 mm より小さいので、図では50倍に拡大しています。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の波形を薄く重ねて比べられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1ゴムを4倍柔らかい 100 kN/m にする（まだ）
2. 2ゴムを4倍硬い 1,600 kN/m にする（ζ は 0.05）（まだ）
3. 3k = 100 kN/m のまま、減衰比 ζ を 0.3 に上げる（まだ）

m質量−kg＋

kばね定数−kN/m＋

ζ減衰比−＋

F0加振力の振幅−N＋

N回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.0000 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる伝達率は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{T_R} = \dfrac{\sqrt{1 + (2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r)^2}}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r)^2}}$$$$= \dfrac{\sqrt{1 + (2 \times 0.05 \times 1.57)^2}}{\sqrt{(1-1.57^2)^2 + (2 \times 0.05 \times 1.57)^2}}$$$$= 0.686$$

静たわみ（自重で下がる量）

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}} = 0.981\ \mathrm{mm}$

固有振動数

$\htmlClass{q-flow}{f_n} = 15.9\ \mathrm{Hz}$

振動数比

$\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_n} = 1.57\$

伝達率

$\htmlClass{q-force}{T_R} = 0.686\$

床に伝わる力の振幅

$\htmlClass{q-force}{F_T} = 137\ \mathrm{N}$

途中の計算（導出）を見る

1. 静たわみ（機械の重さで、ゴムが縮む量）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{g}}{\htmlClass{q-material}{k}} = \dfrac{40 \times 9.81}{400{,}000} = 0.981\ \mathrm{mm}$$

2. 固有振動数（静たわみから）

   $$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{g}}{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}}}} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{9.81}{9.81\times 10^{-4}}} = 15.9\ \mathrm{Hz}$$

3. 振動数比（揺れの振動数が、固有振動数の何倍か）

   $$r = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{N}/60}{\htmlClass{q-flow}{f_n}} = \dfrac{1{,}500/60}{15.9} = 1.57$$

4. 伝達率（床に伝わる力 ÷ 機械が出す力）

   $$\htmlClass{q-force}{T_R} = \dfrac{\sqrt{1 + (2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r)^2}}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r)^2}} = \dfrac{\sqrt{1 + (2 \times 0.05 \times 1.57)^2}}{\sqrt{(1-1.57^2)^2 + (2 \times 0.05 \times 1.57)^2}} = 0.686$$

5. 床に伝わる力の振幅

   $$\htmlClass{q-force}{F_T} = \htmlClass{q-force}{T_R}\,\htmlClass{q-force}{F_0} = 0.686 \times 200 = 137\ \mathrm{N}$$

よくある勘違い

「硬いゴムのほうが、しっかり受け止める」

ゴムを硬くすると、機械はあまり沈まず、しっかり置かれているように見えます。でも、固有振動数が上がり、揺れの振動数に近づきます。上の表のとおり、1,600 kN/m のゴムでは、床に伝わる力は機械の力の 2.56倍です。防振ゴムの役目は、受け止めることではなく、揺れについていかずに、床へ渡さないことです。

「減衰は、多いほどよい」

減衰が効くのは、共振の近くです。防振が効いているところ（√2倍より速いところ）では、減衰を強めるほど、床に伝わる力は増えます。

振幅倍率と伝達率

似た形の式なので、分けておきます。

この公式が使える条件

• 機械は上下にだけ揺れ、ゴムのばねの力は、縮みに比例する
• ゴムの減衰は、速さに比例する力（粘性減衰）とみる
• 機械が出す力の振幅 $\skrFZero$ は一定（回転の不つり合いのように、回転数で力が変わる場合は、回転体の不つり合い で扱います）
• 床は動かないものとする。揺すり始めのゆれが消えたあとの、定常のゆれだけを見る（シミュレータも定常のゆれだけを描く）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

機械の揺れ：運動方程式は、前の単元と同じです。

$$\skrm\,\ddot{x} + \skrc\,\dot{x} + \skrk\,x = \skrFZero\sin\skrOmega t$$

定常のゆれは $x = \skrX\sin(\skrOmega t - \phi)$、$\skrX = \skrXst/\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\skrZeta r)^2}$ でした（$\skrXst = \skrFZero/\skrk$）。

床に伝わる力：床を押すのは、ばねとダンパです。$\theta = \skrOmega t - \phi$ と書くと、

$$f_T = \skrk\,x + \skrc\,\dot{x} = \skrk\skrX\sin\theta + \skrc\,\skrOmega\skrX\cos\theta$$

$\sin$ と $\cos$ の和の振幅は、それぞれの振幅を2乗して足して √ をとったものです。

$$\skrFt = \skrX\sqrt{\skrk^2 + (\skrc\,\skrOmega)^2} = \skrk\skrX\sqrt{1 + (2\skrZeta r)^2}$$

（$\skrc\,\skrOmega/\skrk = 2\skrZeta r$ を使いました。）$\skrk\skrX = \skrFZero \times \skrX/\skrXst$ なので、

$$\skrTR = \dfrac{\skrFt}{\skrFZero} = \dfrac{\sqrt{1 + (2\skrZeta r)^2}}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\skrZeta r)^2}}$$

√2 で 1 になる：$\skrTR = 1$ とおくと、$1 + (2\skrZeta r)^2 = (1-r^2)^2 + (2\skrZeta r)^2$。$(2\skrZeta r)^2$ が両辺から消えて、$(1-r^2)^2 = 1$、つまり $r^2 = 2$ です。$\skrZeta$ が消えるので、減衰比によらず、境目は $\sqrt{2}$ です。

減衰の逆転：$\skrTR^2 = \dfrac{1 + a}{(1-r^2)^2 + a}$（$a = (2\skrZeta r)^2$）と書くと、$a$ を増やしたとき、分子と分母に同じ数を足すことになります。分子が分母より小さいとき（$r > \sqrt{2}$、伝達率が1より小さい）は、同じ数を足すと比は1に近づく、つまり増えます。分子が分母より大きいとき（$r < \sqrt{2}$）は、減ります。

減衰が無いとき：$\skrZeta = 0$ なら $\skrTR = 1/|1 - r^2|$。$r > \sqrt{2}$ では $1/(r^2 - 1)$ です。1/10 にするには $r^2 = 11$ です。