同じ歯車で、5倍にも逆回りにもなる遊星歯車

電動ドライバは、どうして小さなモータでねじを締められる？

充電式の電動ドライバの中には、親指ほどの太さのモータが入っています。このモータは、とても速く回りますが、回す力（トルク）は小さい。そのままでは、木にねじをねじ込めません。

モータとビット（先の金具）の間には、筒の形の減速機が入っています。中には、まん中の歯車のまわりを、いくつかの歯車がめぐる仕掛けがあります。遊星歯車です。

歯数比とトルク で見たふつうの歯車列は、軸が横に並びます。遊星歯車は、入れる軸と出す軸が一直線にそろいます。筒の中に収めるのに、ちょうどよい形です。

まん中の歯車を 20歯、外を囲む輪の歯車を 80歯とします。外の輪を止めて、まん中の歯車を回します。

予想してから読む同じ歯車で、止めるものを替えます。太陽歯車を止めて内歯車を回すと、腕（キャリア）の回転は内歯車の何分の1？

A4分の1B5分の1C1.25分の1

遊星歯車の4つの部品

上の図は、遊星歯車を正面から見たところです。部品は4つあります。

遊星歯車は、自分の軸のまわりに回りながら（自転）、太陽のまわりをめぐります（公転）。公転させているのが、キャリアです。

太陽・内歯車・キャリアの3つは、どれもまん中の軸のまわりを回れます。このうち1つを止め、1つから入れ、残りの1つから出すのが、遊星歯車の使い方です。

1つ止めると、動きが決まる

太陽・内歯車・キャリアのうち、2つの回り方を決めると、残りの1つが決まります。1つを決めただけでは決まりません。機構の自由度 の言葉でいえば、遊星歯車は自由度 2 です。

そこで、1つを止めます。止めた部材の回転は 0 に決まるので、残りは自由度 1。入れた側を回せば、出す側の回り方が1つに決まります。

止めるのは、内歯車でも、太陽でも、キャリアでもかまいません。どれを止めるかで、減速比が変わります。

腕に乗って数える

内歯車を止め、太陽から入れて、キャリアから出すときの減速比を、2つの動きの足し算で出します。

動き A：全体を一緒に回す。歯車どうしをのりで貼り付けたように、太陽・内歯車・キャリアを、まとめて +1 回まわします。歯はかみ合ったまま動かないので、どれも +1 回です。

動き B：キャリアを止めて、内歯車を −1 回まわす。キャリアが止まっていれば、遊星は自分の軸で回るだけで、ふつうの歯車列（内歯車 → 遊星 → 太陽）です。内歯車が 80歯ぶん戻ると、太陽は 80歯ぶん進みます。20歯の太陽にとっては $80/20 = 4$ 回です。内歯車と太陽は、遊星をはさむので反対の向きに回ります。

足し算の行では、内歯車は 0 回です。止めた内歯車と同じです。そのとき、太陽が 5回まわる間に、キャリアは 1回まわります。

$$\sysTwoI = \dfrac{5}{1} = 1 + \dfrac{\sysTwoZr}{\sysTwoZs} = 1 + \dfrac{80}{20} = 5$$

80 ÷ 20 ＝ 4 ではありません。キャリアに乗って見ると 4倍の歯車列で、そこにキャリアごと回る分の 1 が足されます。

てんびん：キャリアは5倍のトルクで回る

歯数比とトルク のてんびんの決まりは、遊星歯車でも同じです。損失がなければ、入れた仕事と出た仕事は同じです。

$$\sysTwoTin\,\omega_{\mathrm{s}} = \sysTwoTout\,\omega_{\mathrm{c}} \qquad\Longrightarrow\qquad \sysTwoTout = \sysTwoTin \times \sysTwoI$$

止めた内歯車は動かないので、仕事をしません。太陽に 1 N·m を入れると、キャリアは 5 N·m で回ります。

止めた内歯車は、仕事はしませんが、力は受けています。3つの部材のトルクを足すと 0 になるので、内歯車を止めている箱は、$5 - 1 = 4\ \mathrm{N\cdot m}$ のトルクを支えています。箱の取り付けも、このトルクに耐えるように作ります。

止める部材を変えると

同じ足し算で、残りの2つの止め方も出せます。

太陽を止めると、同じ歯車なのに 1.25 にしかなりません。キャリアを止めると、遊星はただの「中継ぎの歯車」になり、内歯車は逆向きに回ります。

自動車の自動変速機（AT）は、遊星歯車をいくつか組み合わせ、どの部材を止めるか・どれとどれをつなぐかを、ブレーキとクラッチで切り替えます。歯車をかみ替えずに、速さの段を変えられます。

歯数の2つの決まり

遊星歯車の歯数は、自由には選べません。

決まり1：内歯車＝太陽＋遊星×2

遊星は、太陽と内歯車の間に、ちょうどはさまります。歯の大きさ（モジュール）が同じなら、直径は歯数に比例します。内歯車の直径は、太陽の直径に、遊星の直径を2つ足したものです。

$$\sysTwoZr = \sysTwoZs + 2\,\sysTwoZp = 20 + 2 \times 30 = 80$$

決まり2：(太陽＋内歯車) ÷ 遊星の数 が整数

遊星は、太陽の歯と内歯車の歯の両方に、ぴったりかみ合う所にしか入りません。1個目を入れた所から、キャリアを回して次の遊星を入れる位置を探すと、入れられる位置は $360^{\circ} / (\sysTwoZs + \sysTwoZr)$ おきにしかありません。20歯と80歯なら、$360^{\circ}/100 = 3.6^{\circ}$ おきです。

4個を等間隔に入れるには、90° おきに置きます。$90 / 3.6 = 25$ で、ちょうど入れられる位置です。

3個なら 120° おきですが、$120 / 3.6 = 33.3$ で、入れられる位置からずれます。等間隔には入りません。

$$\dfrac{\sysTwoZs + \sysTwoZr}{\sysTwoNp} = \dfrac{100}{4} = 25 \ (\text{入る}), \qquad \dfrac{100}{3} = 33.3 \ (\text{入らない})$$

盤で遊星の数を 3 にすると、遊星は 0°・118.8°・241.2° の、かみ合う位置に置かれます。等間隔でないと、遊星の重さと、歯にかかる力の分かれ方が片寄ります。

遊星を増やしすぎると、隣どうしの歯先がぶつかります。20歯と30歯では、隣の遊星の中心の間は、4個なら 35.4 mm、5個なら 29.4 mm です（モジュール 1 mm のとき）。遊星の外径は 32 mm なので、5個は入りません。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\sysTwoI = \underbrace{1}_{\text{キャリアごと回る分}} + \underbrace{\dfrac{\sysTwoZr}{\sysTwoZs}}_{\text{腕から見た歯車列}}$$

1. キャリアごと回る分 1　足し算の表の「動き A」です。歯車がかみ合ったまま、全体が一緒に回る分。
2. 腕から見た歯車列 $\sysTwoZr/\sysTwoZs$　「動き B」です。キャリアを止めて見た、ふつうの歯車列の比。遊星の歯数 $\sysTwoZp$ は、中継ぎなので消えます。

内歯車が太陽より大きいほど、減速比は大きくなります。ただ、比を大きくしようとして太陽を小さくしすぎると、太陽の歯の根元がえぐれます（歯数比とトルク の切り下げ）。大きな比は、段を重ねて作ります。

どの数字がいちばん効く？

太陽 20歯・遊星 30歯（内歯車 80歯）・内歯車を止める、から、それぞれを変えたとき、出力のトルクがどう変わるかを並べます。

太陽を 22歯にした行は、比を見るための計算です。(22 + 80) ÷ 4 = 25.5 で整数にならないので、この歯数では、遊星4個を等間隔に入れられません（決まり2）。

いちばん効くのは、どの部材を止めるかです。歯数を10%変えても、比は 7〜8% しか変わりません。1 が足されているので、歯数の比の変化が薄まるからです。

電動ドライバに戻る

電動ドライバの減速機には、遊星歯車が2段、3段と重ねて入っています。1段目のキャリアが、2段目の太陽を回します。歯数比とトルク と同じく、比は掛け算です。

数を仮に決めて、足りるかを確かめます。モータのトルクは 0.2 N·m、木ねじを締め込むのに 3 N·m 要るとします。各段は 20歯と80歯（5：1）です。

2段なら足ります。その代わり、ビットの回転はモータの 1/25 です。

動かしてみよう

太陽歯車・内歯車・キャリアのうち、朱が入れる部材、青が出す部材、灰が止めた部材です。初めは、内歯車を止め、太陽から入れて、キャリアから出します。黒い点を見ると、何回まわったかが追えます。

「止め方」のボタンで、内歯車・太陽・キャリアの順に止める部材を替えて、同じ歯車で比がどう変わるかを見てください。遊星の数を変えると、等間隔に入るかどうかが、図と、いちばん下の欄に出ます。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の線が、波形に薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1「太陽を止める」にして、出せるトルクのものさしを見る（内歯車から入れる。ほかは初期値）（まだ）
2. 2「キャリアを止める」にして、内歯車の回る向きを見る（太陽から入れて内歯車から出す）（まだ）
3. 3「内歯車を止める」に戻し、遊星の数 n を 3 にして、遊星の並び方を見る（まだ）

zs太陽歯車の歯数−＋

zp遊星歯車の歯数−＋

n遊星歯車の数−＋

止め方止める歯車

内歯車を止める太陽を止めるキャリアを止める

Tin入力のトルク−N·m＋

TL負荷を回すのに要るトルク−N·m＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる出力のトルクは、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{i} = 1 + \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{z_r}}{\htmlClass{q-geometry}{z_s}}$$$$= 1 + \dfrac{80}{20}$$$$= 5$$

出力のトルク

$\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}} = 5\ \mathrm{N\cdot m}$

減速比（入力 ÷ 出力。負は逆回り）

$\htmlClass{q-geometry}{i} = 5\$

内歯車の歯数

$\htmlClass{q-geometry}{z_r} = 80\$

出力の回転数

$\htmlClass{q-flow}{N_{\mathrm{out}}} = 12\ \mathrm{min^{-1}}$

途中の計算（導出）を見る

1. 内歯車の歯数（太陽と内歯車の間に、遊星が1枚はさまる）

   $$\htmlClass{q-geometry}{z_r} = \htmlClass{q-geometry}{z_s} + 2\,\htmlClass{q-geometry}{z_p} = 20 + 2 \times 30 = 80$$

2. 内歯車を止め、太陽から入れてキャリアから出す

   $$\htmlClass{q-geometry}{i} = 1 + \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{z_r}}{\htmlClass{q-geometry}{z_s}} = 1 + \dfrac{80}{20} = 5$$

3. 出力の回転数（入力を減速比で割る。負は逆回り）

   $$\htmlClass{q-flow}{N_{\mathrm{out}}} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{N_{\mathrm{in}}}}{\htmlClass{q-geometry}{i}} = \dfrac{60}{5} = 12\ \mathrm{min^{-1}}$$

4. 出力のトルク（入力のトルクに減速比をかける。てんびん）

   $$\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}} = \htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{in}}} \times \htmlClass{q-geometry}{i} = 1 \times 5 = 5\ \mathrm{N\cdot m}$$

5. 負荷に要るトルクと比べる（大きさで比べる）

   $$|\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}}| \ge \htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{L}}}\ ? = 5\ \ge\ 4.5 = \text{足りる}$$

よくある勘違い

「減速比は、内歯車 ÷ 太陽 ＝ 4」

それは、キャリアを止めたときの大きさです（向きは逆）。内歯車を止めてキャリアから出すときは、キャリアごと回る分の 1 が足されて 5 です。

「遊星の歯数も、減速比に効く」

効きません。遊星は、太陽と内歯車の間の中継ぎです。ただし、遊星の歯数で内歯車の歯数が決まる（$\sysTwoZr = \sysTwoZs + 2\sysTwoZp$）ので、その分だけ間接に効きます。

「止めた歯車には、力がかからない」

かかります。止めた内歯車は、仕事はしませんが、出力と入力のトルクの差を支えます。1 N·m を入れて 5 N·m を出すなら、内歯車には 4 N·m がかかります。

この公式が使える条件

• 歯は滑らない。摩擦・軸受の損失を考えない（実物では、出せるトルクは計算より少し小さい）
• 一定の速さで回っているとき
• 太陽・遊星・内歯車は、同じ歯の大きさ（モジュール）の標準の歯車（決まり1が、そのまま成り立つ）
• 3つの部材のうち、1つを止め、1つから入れ、1つから出す
• 遊星が力を等しく分け合うかどうかは、作りの精度による（この単元では扱わない）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

ウィリスの式：太陽・内歯車・キャリアの角速度を $\omega_{\mathrm{s}}$・$\omega_{\mathrm{r}}$・$\omega_{\mathrm{c}}$ とします。キャリアに乗って見ると、太陽は $\omega_{\mathrm{s}} - \omega_{\mathrm{c}}$、内歯車は $\omega_{\mathrm{r}} - \omega_{\mathrm{c}}$ で回る、ふつうの歯車列です。太陽 → 遊星 → 内歯車 の比は $-\sysTwoZr/\sysTwoZs$（遊星は中継ぎで消え、向きは逆）なので、

$$\dfrac{\omega_{\mathrm{s}} - \omega_{\mathrm{c}}}{\omega_{\mathrm{r}} - \omega_{\mathrm{c}}} = -\dfrac{\sysTwoZr}{\sysTwoZs}$$

内歯車を止める（$\omega_{\mathrm{r}} = 0$）と、$\omega_{\mathrm{s}} - \omega_{\mathrm{c}} = (\sysTwoZr/\sysTwoZs)\,\omega_{\mathrm{c}}$。$\omega_{\mathrm{c}}$ でまとめて、

$$\dfrac{\omega_{\mathrm{s}}}{\omega_{\mathrm{c}}} = 1 + \dfrac{\sysTwoZr}{\sysTwoZs}$$

太陽を止める（$\omega_{\mathrm{s}} = 0$）と、$\omega_{\mathrm{r}}/\omega_{\mathrm{c}} = 1 + \sysTwoZs/\sysTwoZr$。キャリアを止める（$\omega_{\mathrm{c}} = 0$）と、$\omega_{\mathrm{s}}/\omega_{\mathrm{r}} = -\sysTwoZr/\sysTwoZs$ です。

トルクのつり合い：止まっている（一定の速さで回る）遊星歯車では、外から3つの部材にかかるトルクの和が 0 です。$T_{\mathrm{s}} + T_{\mathrm{r}} + T_{\mathrm{c}} = 0$。仕事の決まり $T_{\mathrm{s}}\omega_{\mathrm{s}} + T_{\mathrm{r}}\omega_{\mathrm{r}} + T_{\mathrm{c}}\omega_{\mathrm{c}} = 0$ と合わせると、内歯車を止めたとき、キャリアの出すトルクは太陽に入れたトルクの $1 + \sysTwoZr/\sysTwoZs$ 倍、内歯車が支えるトルクは $\sysTwoZr/\sysTwoZs$ 倍です。

等間隔の条件：1個目の遊星をキャリアの角度 0 に置くと、太陽の歯と内歯車の歯の両方にかみ合うのは、キャリアの角度 $\phi$ で $\phi\,(\sysTwoZs + \sysTwoZr)/360^{\circ}$ が整数のときです。太陽の歯の並びは $\sysTwoZs$ 枚で1周、内歯車は $\sysTwoZr$ 枚で1周ですが、遊星から見ると、太陽は逆向き、内歯車は同じ向きに歯が流れるので、2つが足し合わさります。$\phi = 360^{\circ}/\sysTwoNp$ を入れると、$(\sysTwoZs + \sysTwoZr)/\sysTwoNp$ が整数、が条件です。