穴を1つ開けると、ふちの応力は3倍応力集中

鋼の板は、穴のどこから割れる？

天井の梁から、細長い鋼の板の帯で、重い荷物をつり下げます。帯の途中には、ほかの部品を留めるための丸い穴が1つ開いています。

この帯が割れるとき、ひびは決まった所から始まります。穴の両わき、つまり、引っぱる向きに直角な側のふちです。そこから横へ、板の端に向かって伸びていきます。

穴の分だけ、板の断面は細くなります。でも、それだけなら、ひびは穴のどこから始まってもよさそうです。ひびが両わきに決まっているのは、そこだけ応力が特別に高いからです。

例で考えます。幅 50 mm・厚さ 5 mm の鋼の板の中央に、直径 8 mm の丸い穴があります。この板を 9 kN で引っぱります。許容応力は 100 MPa です。

穴から離れた所の平均の応力は、$9000 / (50 \times 5) = 36\ \mathrm{MPa}$。許容の3分の1ほどで、余白はたっぷりあるように見えます。ところが、穴のふちの応力は平均の3倍で、108 MPa になります。許容の 100 MPa を越えます。では、穴を小さくしたら、どうでしょうか。

予想してから読む穴の直径を半分の 4 mm にします。穴のふちの応力は？

A半分の 54 MPa ほどになるB108 MPa のままCもっと大きくなる

穴のふちの応力は、平均の3倍

板の穴や軸の角のように、形が急に変わる所では、応力がまわりより高くなります。これを応力集中といいます。そこの応力が平均の何倍かを、形状係数 $\sosAlpha$ で表します。

$$\sosSigmaMax = \sosAlpha\,\sosSigmaZero, \qquad \sosSigmaZero = \dfrac{\sosP}{\sosW\,\sosT}$$

広い板に開けた丸い穴なら、$\sosAlpha = 3$ です。例の板の穴のふちは $3 \times 36 = 108\ \mathrm{MPa}$ で、許容の 100 MPa を越えます。平均では足りていたのに、穴のふちで足りないのです。

形状係数は、形だけで決まります。材料にも、荷重の大きさにもよりません。鋼でもアルミニウムでも、広い板の丸い穴なら3です。

穴のふちで3倍になる

力の通り道が、穴をよける

板を引っぱる力は、板の端から端まで、材料の中を通って伝わります。穴の所には材料が無いので、力は穴を通れません。穴の手前で左右に分かれ、穴のわきを回りこんで、また合流します。

だから、穴のわきでは、力の通り道が混み合います。混み合った所ほど、1 mm² あたりの力、つまり応力が高くなります。いちばん混むのが、穴のふちの、引く向きに直角な側です。ひびがそこから始まるのは、このためです。

3 という数は、どこから来るか

3 という数は、弾性体の板の中の応力を、穴のまわりで解いた答えから出ます（キルシュの解、1898年）。解き方は、この単元では扱いません。数を決めているのは、穴が円であることと、板が穴に比べて十分に広いことの2つだけです。

その答えを、穴の中心を通り、引く向きに直角な線の上で書くと、次のようになります。穴の半径を $\sosA$、穴の中心からの距離を $r$ とします。

$$\sigma = \dfrac{\sosSigmaZero}{2}\left(2 + \left(\dfrac{\sosA}{r}\right)^2 + 3\left(\dfrac{\sosA}{r}\right)^4\right)$$

ふち（$r = \sosA$）では、かっこの中が $2 + 1 + 3 = 6$ で、$\sigma = 3\,\sosSigmaZero$ です。

集中は、穴のまわりだけ

同じ式で、ふちから離れた所を調べます。

穴の半径の分だけ離れると、もう平均の 1.22倍です。集中は、穴のふちのごく近くで起きています。

穴を通れなかった力は、穴の両わきが余分に受け持ちます。その余分の約7割を、ふちから穴の半径の分までの、細い帯が受け持っています。

ものさしの目盛りが、跳ね上がる

この科目では、計算で出た応力をものさしの目盛りに、許容応力を余白をとった線にたとえています。目盛りが線の内側なら足ります。

穴のある板では、ものさしを当てる場所で目盛りが変わります。穴から離れた所では 36 MPa で、線（100 MPa）のずっと内側です。ところが、穴のふちに当てると、目盛りは3倍の 108 MPa に跳ね上がり、線を越えます。

足りる板にするには、穴のふちの応力を許容以下にします。$3\,\sosP / (\sosW\,\sosT) \le 100$ から、厚さは

$$\sosTreq = \dfrac{3 \times 9000}{50 \times 100} = 5.4\ \mathrm{mm}$$

以上が必要です。1 mm きざみで切り上げて 6 mm を選ぶと、穴のふちは $3 \times 9000 / (50 \times 6) = 90\ \mathrm{MPa}$ です。許容の 100 MPa 以下で、これなら足ります。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\sosSigmaMax = \underbrace{\sosAlpha}_{\text{形で決まる倍率}} \times \underbrace{\dfrac{\sosP}{\sosW\,\sosT}}_{\text{穴が無いときの平均}}$$

1. 穴が無いときの平均 $\sosP / (\sosW\,\sosT)$　材料力学の 応力とひずみ で出した、力 ÷ 断面積です。
2. 形で決まる倍率 $\sosAlpha$　穴や角の形だけで決まります。広い板の丸い穴は3。形がとがっているほど大きくなります。

設計では、まず平均を出し、形状係数をかけて、いちばん高い所の応力にします。それを許容応力と比べます。

どの数字がいちばん効く？

例の板から、それぞれの数字を 10% 変えたとき、穴のふちの応力がどう変わるかを並べます。

穴を小さくしても、ふちの応力は下がりません。下げるには、平均を下げるか、形状係数を下げる形にします。

段付き軸の角

軸には、太さの変わる段がよくあります。軸受や歯車を、段に押し当てて位置を決めるためです。この段の角でも、応力が集中します。

段の角を、鋭いまま直角に削ると、形状係数は大きくなります。角に丸み（すみの丸み）を付けると、力の通り道が、なめらかに向きを変えられます。丸みの半径を大きくするほど、集中は減ります。

形状係数の値は、段の太さの比と、丸みの半径で決まります。実際の値は、実験や数値計算で調べた線図（ピーターソンの線図など）から読み取ります。

同じ考え方は、身の回りにもあります。紙の帯を両手で引っぱっても、なかなか破れません。でも、縁に小さな切れ目を1つ入れると、そこから簡単に裂けます。切れ目の先は、とても鋭い角だからです。

飛行機の窓は、角が丸い形をしています。胴体の外板に開けた穴なので、角を丸くして、集中を小さくしているのです。

鋼の板に戻る

はじめの板では、穴から離れた所の平均は 36 MPa でした。許容 100 MPa の3分の1ほどです。でも、穴のふちでは3倍の 108 MPa になり、許容を越えます。ひびが穴の両わきから始まるのは、そこがいちばん高い所だからです。

厚さを 6 mm にすれば、ふちの応力は 90 MPa で、許容以下になります。この寸法なら足ります。

動かしてみよう

穴の直径 $\sosD$ を小さくしてみてください。左の図の赤い山は細くなりますが、山の高さ（ふちの応力）は変わりません。

次に、板の厚さ $\sosT$ や幅 $\sosW$ を増やして、右のものさしの「ふち」の赤い線が、緑の許容の線の内側に入るところを探してください。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、変える前の値と比べられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1穴の直径 d を半分の 4 mm にして、穴のふちの応力を見る（ポイント1）（まだ）
2. 2穴の直径 d を 10 mm に大きくして、図の山の裾がどこまで広がるかを見る（ポイント2）（まだ）
3. 3穴は 8 mm のまま、板の厚さ t を 6 mm にして、ものさしの「ふち」を見る（ポイント3）（まだ）

P板を引っぱる荷重−kN＋

W板の幅−mm＋

t板の厚さ−mm＋

d穴の直径−mm＋

σa許容応力−MPa＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる穴のふちの応力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \htmlClass{q-material}{\alpha}\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_0}$$$$= 3 \times 36\ \mathrm{MPa}$$$$= 108\ \mathrm{MPa}$$

穴から離れた所の平均の応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_0} = 36\ \mathrm{MPa}$

穴のふちの応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 108\ \mathrm{MPa}$

穴のふちが許容ちょうどになる板厚

$\htmlClass{q-geometry}{t_r} = 5.4\ \mathrm{mm}$

選んだ板厚（1 mm きざみで切り上げ）

$\htmlClass{q-geometry}{t_s} = 6\ \mathrm{mm}$

選んだ板厚での、穴のふちの応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{s}} = 90\ \mathrm{MPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. 穴から離れた所の平均の応力を求める

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_0} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-geometry}{W}\,\htmlClass{q-geometry}{t}} = \dfrac{9{,}000\ \mathrm{N}}{50\ \mathrm{mm} \times 5\ \mathrm{mm}} = 36\ \mathrm{MPa}$$

2. 穴のふちの応力を求める（広い板の丸い穴は、形状係数 3）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \htmlClass{q-material}{\alpha}\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_0} = 3 \times 36\ \mathrm{MPa} = 108\ \mathrm{MPa}$$

3. 穴のふちが許容応力ちょうどになる板厚を出し、1 mm きざみで切り上げて選ぶ

   $$\htmlClass{q-geometry}{t_r} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{\alpha}\,\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-geometry}{W}\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_a}},\quad \htmlClass{q-geometry}{t_s} \ge \htmlClass{q-geometry}{t_r} = \dfrac{3 \times 9{,}000}{50 \times 100} = 5.4\ \mathrm{mm}\ \to = 6\ \mathrm{mm}$$

4. 選んだ板厚で、穴のふちの応力を確かめる（許容以下なら足りる）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{s}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{\alpha}\,\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-geometry}{W}\,\htmlClass{q-geometry}{t_s}} = \dfrac{3 \times 9{,}000}{50 \times 6} = 90\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「小さな穴なら、集中も小さい」

広い板なら、穴の大きさによらず、ふちの応力は平均の3倍です。小さくなるのは、集中が起きる範囲だけです。

小さな傷や細い溝でも、ふちの形が鋭ければ、集中はむしろ大きくなります。

「穴の分だけ断面が減るから、応力が上がる」

穴の分だけ断面が減る効果も、確かにあります。例の板では、穴の所の断面は $(50 - 8) \times 5 = 210\ \mathrm{mm^2}$ で、そこの平均は 42.9 MPa です。

でも、これは平均の 1.19倍にすぎません。穴のふちが 42.9 MPa になるのではありません。実際には、力の通り道が混み合うので、ふちは 108 MPa、3倍です。

「応力が集中した部品は、1回引っぱっただけで壊れる」

鋼のようにねばりのある材料では、1回だけの荷重なら、ふちが少し降伏しても、まわりの材料が力を受け持ちます。すぐに割れるとは限りません。

応力集中がとくに危ないのは、荷重が繰り返しかかるときと、ガラスや鋳物のようなもろい材料のときです。

この公式が使える条件

• 板が穴に比べて十分に広い（盤では、穴の直径を板の幅の 1/4 までにした。1/5 を越えると注意を出す）
• 穴は円で、板の厚さの向きにまっすぐ開いている
• 板を、穴から離れた所で一様に引っぱる（穴にピンを通して引っぱる場合は、別の値になる）
• 材料は弾性の範囲（ふちが降伏しない）
• 板は薄く、厚さの向きの応力は考えない

キルシュの解（くわしく知りたい人へ）

穴の中心を原点に、引く向きから測った角度を $\theta$ とします。無限に広い板を、遠くで一様な応力 $\sosSigmaZero$ で引くと、穴のまわりの応力は次の式になります（キルシュ、1898年）。$p = (\sosA / r)^2$ とおきます。

$$\sigma_r = \dfrac{\sosSigmaZero}{2}(1 - p) + \dfrac{\sosSigmaZero}{2}(1 - 4p + 3p^2)\cos 2\theta$$$$\sigma_\theta = \dfrac{\sosSigmaZero}{2}(1 + p) - \dfrac{\sosSigmaZero}{2}(1 + 3p^2)\cos 2\theta$$$$\tau_{r\theta} = -\dfrac{\sosSigmaZero}{2}(1 + 2p - 3p^2)\sin 2\theta$$

穴のふち（$p = 1$）：$\sigma_r = 0$、$\tau_{r\theta} = 0$ で、穴の内側の面には、押す力もずらす力もかかりません。$\sigma_\theta = \sosSigmaZero(1 - 2\cos 2\theta)$ で、$\theta = 90^{\circ}$（引く向きに直角な側）で $3\,\sosSigmaZero$、$\theta = 0^{\circ}$（引く向きの側）で $-\sosSigmaZero$（圧縮）になります。

遠く（$p \to 0$）：一様な引張 $\sosSigmaZero$ に戻ります。

力の帳尻：$\theta = 90^{\circ}$ の線の上で、平均を越えた分を、ふちから遠くまで足し合わせると、

$$\int_{\sosA}^{\infty} (\sigma_\theta - \sosSigmaZero)\,dr = \dfrac{\sosSigmaZero}{2}\int_{\sosA}^{\infty}\left(\dfrac{\sosA^2}{r^2} + \dfrac{3\sosA^4}{r^4}\right)dr = \dfrac{\sosSigmaZero}{2}(\sosA + \sosA) = \sosSigmaZero\,\sosA$$

これは、穴の片側の半分（幅 $\sosA$）を通れなかった力と同じです。ふちから半径の分（$r = 2\sosA$）までの積分は $0.6875\,\sosSigmaZero\,\sosA$ で、約7割です。

このサイトの検算では、この式を穴のまわりで数値で評価し、ふちの最大が 3倍・ふちで $\sigma_r = \tau_{r\theta} = 0$・遠くで一様な引張・板の中のどこでもつり合いの式を満たすこと・力の帳尻が $\sosSigmaZero\,\sosA$ になることを確かめています。