科目
流体力学
章
管の流れと損失
図番
09 / 12
内容
シミュレータ・例題3問
流体力学　9 / 12

ホースの内径を半分にすると、損失は27倍管の摩擦損失

管を流れる水が摩擦で失う圧力は、長さに比例し、速さのほぼ2乗に比例する（Δp = λ(L/D)·½ρv²）。内径 15 mm・20 m のホースに毎分 12 L 流すと約 24 kPa、流量2倍で 3.36倍、同じ流量で内径を半分にすると 26.9倍。

庭の蛇口から長いホースが芝生の上を延び、遠くの先から出る水が弱々しく垂れている
このページの内容
  1. 長いホースの先で、水が弱くなる
  2. 公式はこれ
  3. 財布の中身を、熱に払う
  4. 管摩擦係数 λ
  5. 公式を、3つのかたまりに分けて読む
  6. 流量を2倍にすると
  7. 内径を半分にすると
  8. どの数字がいちばん効く？
  9. 庭のホースに戻る
  10. 動かしてみよう
  11. よくある勘違い
  12. この公式が使える条件
  13. 例題

この単元のポイント

  1. 管を流れる水は、壁との摩擦で圧力を失う。失う圧力（損失）は長さに比例し、速さのほぼ2乗に比例する（Δp=λ LD 12ρv2\sklDp = \sryLam\,\tfrac{\sklL}{\sryD}\,\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2）。
  2. 内径 15 mm・長さ 20 m のホースに毎分 12 L 流すと、損失は約 24 kPa（23.7 kPa）。流量を2倍にすると 3.36倍。
  3. 同じ流量のまま内径を半分にすると、損失は 26.9倍。管の太さが、いちばんよく効く。

長いホースの先で、水が弱くなる

庭の蛇口にホースをつないで、20 m 先の花壇まで延ばします。蛇口のすぐ近くで切ったホースに比べて、先から出る水は弱々しくなります。

ホースの中で、水が減ったわけではありません。入った量 ＝ 出た量（連続の式（流量は変わらない））なので、流量はどこでも同じです。太さが同じなら、速さも同じです。

失われたのは、水を押す圧力です。水は、ホースの内側の壁とこすれ合いながら進みます。その摩擦に、押す圧力が少しずつ使われていきます。この失われる圧力を、損失といいます。

予想してから読む同じ毎分 12 L を、長さが同じで、内径が半分のホースに流す。損失は何倍になる？

公式はこれ

Δp=λ LD 12ρv2\sklDp = \sryLam\,\dfrac{\sklL}{\sryD}\,\dfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2

ダルシー・ワイスバッハの式といいます。

記号 意味 20 m の庭のホース
Δp\sklDp 摩擦で失う圧力（損失） [Pa] 23.7 kPa
λ\sryLam 管摩擦係数（単位のない数） 0.0277
L\sklL ホース（管）の長さ [m] 20 m
D\sryD 管の内径 [m] 15 mm
ρ\sryRho 密度 [kg/m³] 998.2 kg/m³
v\sryV 管の中の平均の流速 [m/s] 1.13 m/s

毎分 12 L を内径 15 mm に流すと、流速は 1.13 m/s です。数を入れると、

Δp=0.02775×200.015×12×998.2×1.1322=23.7 kPa\sklDp = 0.02775 \times \dfrac{20}{0.015} \times \dfrac{1}{2} \times 998.2 \times 1.132^2 = 23.7\ \mathrm{kPa}

約 24 kPa です。水の柱の高さに直すと 2.42 m。ホースの入口で、水を 2.42 m の高さまで押し上げられるだけの圧力が、20 m 進む間に、摩擦で消えてしまいます。

財布の中身を、熱に払う

ベルヌーイの定理 では、流れのエネルギーを、圧力の分・速さの分・高さの分の3つの形で持つ「財布の中身の両替」にたとえました。損失がなければ、合計は変わりませんでした。

長いホースでは、損失があります。財布の中身の一部を、摩擦の熱として払ってしまうのです。払った分は、もう両替しても戻りません。

水平なホースなら、高さの分は変わりません。太さが同じなら、速さの分も変わりません。だから、払った分は、そっくり圧力の分から減ります。

手のひらをこすり合わせると、温まります。こする仕事が、熱に変わったからです。ホースの中の水も同じで、20 m 流れる間に、ほんのわずか温まります。毎分 12 L なら、熱に変わる動力は 4.73 W。水の温度は 0.006℃ ほど上がるだけなので、さわっても分かりません。

管に沿って、圧力は直線で下がる

ホースの途中に、細いガラス管を何本か立てると、水がそこまで上がる高さ（液柱）で、その場所の圧力が見られます。

入口では 2.42 m。そこから出口へ向かって、液柱は一定の割合で低くなり、出口（大気）で 0 になります。1 m 進むごとに、同じだけ（1.18 kPa ずつ）圧力を払っているからです。

管摩擦係数 λ

管摩擦係数 λ\sryLam は、管の壁で、どれだけこすれやすいかを表す数です。流れが層流か乱流か（粘性とレイノルズ数（層流と乱流））で、出し方が違います。

  • 層流（Re が 2300 より下）：λ=64/Re\sryLam = 64/\sryRe。壁の粗さによらず、Re だけで決まります。
  • 乱流（なめらかな管、Re が 4000〜10万ほど）：λ=0.3164 Re−0.25\sryLam = 0.3164\,\sryRe^{-0.25}（ブラジウスの式）。

庭のホースの水は Re が約 16,900 の乱流なので、

λ=0.3164×16,900−0.25=0.0277\sryLam = 0.3164 \times 16{,}900^{-0.25} = 0.0277

ホースの内側を、なめらかな管とみなした値です（目安）。内側が粗い管では、λ はこれより大きくなります。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

Δp=λ⏟こすれやすさ LD⏟細長さ 12ρv2⏟速さの分\sklDp = \underbrace{\sryLam}_{\text{こすれやすさ}}\ \underbrace{\dfrac{\sklL}{\sryD}}_{\text{細長さ}}\ \underbrace{\dfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2}_{\text{速さの分}}
  1. こすれやすさ λ\sryLam　壁と流れの間の摩擦の強さです。乱流のなめらかな管では、0.02〜0.04 くらいの数になります。
  2. 細長さ L/D\sklL/\sryD　管の長さが、内径の何本分あるか。20 m ÷ 15 mm ＝ 1333 本分です。長いほど、細いほど、こすれる壁が多くなります。
  3. 速さの分 12ρv2\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2　財布の中の、速さの分そのものです。損失は、この速さの分の何倍を払うかで決まります。庭のホースでは、0.0277 × 1333 ＝ 約 37 倍です。

流量を2倍にすると

同じホースに、流量を2倍の毎分 24 L 流すと、速さも2倍の 2.26 m/s になります。速さの分は、2乗で4倍です。

ところが、損失は4倍にはなりません。速くなると Re が大きくなり、管摩擦係数が 0.0277 から 0.0233 に、少し下がるからです。

79.6 kPa23.7 kPa=3.36=21.75\dfrac{79.6\ \mathrm{kPa}}{23.7\ \mathrm{kPa}} = 3.36 = 2^{1.75}

乱流のなめらかな管では、損失は流量の 1.75乗に比例します。「速さのほぼ2乗」と言うのは、このためです。

内径を半分にすると

同じ毎分 12 L のまま、内径を 15 mm から半分の 7.5 mm にすると、損失は 636 kPa、26.9倍になります。3つの変化が重なるからです。

  1. 断面積が4分の1になり、速さが4倍。速さの分は、2乗で16倍
  2. 細長さ L/D が2倍
  3. Re が2倍になって、管摩擦係数が 0.0277 から 0.0233 に下がる（0.84倍）
16×2×0.84=26.9=24.7516 \times 2 \times 0.84 = 26.9 = 2^{4.75}

ストローで飲むとき、細いストローほど強く吸わないと上がってこないのも、同じ理由です。

どの数字がいちばん効く？

20 m・15 mm・毎分 12 L のホースから、1つずつ変えたときの損失の変化です。

変えるもの 損失の変化 理由
長さ L\sklL を10%長く +10% 長さに比例
流量 Q\sryQ を10%多く +18% 流量の 1.75乗
内径 D\sryD を10%太く −36% 内径の −4.75乗
内径 D\sryD を10%細く +65% 内径の −4.75乗

いちばん効くのは、内径です。たった 10% 細いだけで、損失は 1.6倍以上になります。

庭のホースに戻る

20 m のホースで失う 23.7 kPa は、どのくらいの大きさでしょうか。水道の配水管は、給水管が分かれる所で 150 kPa 以上の圧力を保つのが目安とされています。20 m のホースは、その6分の1 ほどを使っています。

50 m に延ばすと、損失は 59.1 kPa になります。それでも水は出ますが、先から出る勢いは、さらに弱くなります。

つまり、ものを作るときは

長い配管は、太くします。内径を 1.2 倍にするだけで、損失は約4割に下がります。細い管を使うなら、短くします。

流量を増やしたいときは、損失がほぼ2乗で増えることを見込みます。ポンプで水を送るときは、この損失の分も、ポンプが押し出す必要があります。くわしくは、あとの ポンプの揚程と動力 で扱います。

動かしてみよう

はじめは、20 m・内径 15 mm・毎分 12 L のホースです。ホースに立てた4本の液柱の頭を、赤い破線が結んでいます。入口で 23.7 kPa（水柱 2.42 m）、出口で 0。線はまっすぐに下がります。

長さ L\sklL を変えると、ホースが伸び縮みします。線の傾きは変わらず、入口の液柱だけが高くなります。流量 Q\sryQ や内径 D\sryD を変えると、線の傾きそのものが変わります。

「いまの図を残して比べる」を押してから流量を2倍にすると、液柱が4倍ではなく 3.36倍に伸びるのが、並べて見られます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります

試してみよう0 / 3

  1. 長さ L を2倍の 40 m にして、入口の液柱の高さと、液柱の頭を結ぶ赤い線の傾きを見る（まだ）
  2. 長さ 20 m・内径 15 mm のまま、流量 Q を2倍の毎分 24 L にして、損失が何倍になるか見る（まだ）
  3. 流量は毎分 12 L のまま、内径 D を半分の 7.5 mm にして、損失を見る（まだ）
m
mm
L/min
入口 23.7 kPa出口 0（大気）L = 20 m内径 15 mm・毎分 12 L・平均 1.13 m/sRe 16,900（乱流）・水柱 2.42 m・熱に変わる動力 4.73 W財布の中身 [kPa]赤 圧力・青 速さ 0.6424.3入口出口熱へ 23.7損失Δp = 23.7 kPa尺度長さと液柱は別の縮尺
摩擦で失う圧力（損失）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

Δp=λ LD 12ρ v2\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \htmlClass{q-material}{\lambda}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-geometry}{D}}\,\dfrac{1}{2}\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2=0.0277×200.015×12×998.2×1.132= 0.0277 \times \dfrac{20}{0.015} \times \dfrac{1}{2} \times 998.2 \times 1.13^2=23.7 kPa= 23.7\ \mathrm{kPa}
摩擦で失う圧力（損失）
Δp=23.7 kPa\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = 23.7\ \mathrm{kPa}
流速
v=1.13 m/s\htmlClass{q-displacement}{v} = 1.13\ \mathrm{m/s}
レイノルズ数
Re=16,900 \htmlClass{q-material}{Re} = 16{,}900\
管摩擦係数
λ=0.0277 \htmlClass{q-material}{\lambda} = 0.0277\
損失を水柱の高さに直したもの（損失水頭）
hL=2.42 m\htmlClass{q-geometry}{h_{\mathrm{L}}} = 2.42\ \mathrm{m}
摩擦で熱に変わる動力
PL=4.73 W\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{L}}} = 4.73\ \mathrm{W}
途中の計算（導出）を見る

  1. 平均の流速（流量 ÷ 断面積。連続の式）

    v=QπD2/4=200×10−6π×0.0152/4=1.13 m/s\htmlClass{q-displacement}{v} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\pi \htmlClass{q-geometry}{D}^2/4} = \dfrac{200 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.015^2/4} = 1.13\ \mathrm{m/s}

  2. レイノルズ数（2300 より上なので乱流）

    Re=v Dν=1.13×0.0151.004×10−6=16,900\htmlClass{q-material}{Re} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v}\,\htmlClass{q-geometry}{D}}{\htmlClass{q-material}{\nu}} = \dfrac{1.13 \times 0.015}{1.004\times 10^{-6}} = 16{,}900

  3. 管摩擦係数（乱流・なめらかな管：ブラジウスの式）

    λ=0.3164 Re−0.25=0.3164×16,900−0.25=0.0277\htmlClass{q-material}{\lambda} = 0.3164\,\htmlClass{q-material}{Re}^{-0.25} = 0.3164 \times 16{,}900^{-0.25} = 0.0277

  4. 摩擦で失う圧力（損失）

    Δp=λ LD 12ρ v2=0.0277×200.015×12×998.2×1.132=23.7 kPa\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \htmlClass{q-material}{\lambda}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-geometry}{D}}\,\dfrac{1}{2}\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2 = 0.0277 \times \dfrac{20}{0.015} \times \dfrac{1}{2} \times 998.2 \times 1.13^2 = 23.7\ \mathrm{kPa}

  5. 損失を、水の柱の高さに直す（損失水頭）

    hL=Δpρ g=23,700998.2×9.807=2.42 m\htmlClass{q-geometry}{h_{\mathrm{L}}} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\Delta p}}{\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{23{,}700}{998.2 \times 9.807} = 2.42\ \mathrm{m}

  6. 摩擦で熱に変わる動力（損失 × 流量）

    PL=Δp Q=23,700×200×10−6=4.73 W\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{L}}} = \htmlClass{q-stress}{\Delta p}\,\htmlClass{q-displacement}{Q} = 23{,}700 \times 200 \times 10^{-6} = 4.73\ \mathrm{W}

よくある勘違い

「損失は、流量に比例する」

乱流では、比例しません。流量を2倍にすると、損失は 3.36倍です。比例するのは層流のときだけで、ねばる油を細い管でゆっくり流す油圧の配管などがそうです（例題2）。

流量2倍で、損失は
乱流（庭のホースの水） 3.36倍（1.75乗）
層流（油圧の細い配管の油） 2倍（1乗）

「ホースの先で水が弱いのは、途中で水が減るから」

水は減っていません。ホースの途中に穴がなければ、入った量 ＝ 出た量です。太さが同じなので、速さも同じです。減ったのは、水を押す圧力だけです。

「少しくらい細くても、たいして変わらない」

内径は、損失の −4.75乗で効きます。10% 細いと、損失も 10% 増えるのではなく、65% 増えます。古い配管の内側にさびや水あかがついて少し細くなるだけで、水の出が目に見えて悪くなるのは、このためです。

この公式が使える条件

  • 断面が円の、まっすぐな管（曲がり・継ぎ手・弁の損失は、別に足す）
  • 管の入口から十分離れた、流れが落ち着いた所
  • 管の太さが、長さ方向に変わらない
  • 管摩擦係数のブラジウスの式は、なめらかな管で、Re が 4000〜10万ほどのとき（2300〜4000 は、層流とも乱流ともつかず、λ が決まらない）
  • 水の温度は 20℃（温度が変わると動粘度が変わり、Re と λ が変わる）
式の出どころ（くわしく知りたい人へ）

力の釣り合いで見る：長さ L\sklL のホースの中の水の柱を考えます。速さは変わらないので、水の柱に働く力は釣り合っています。

  • 後ろから押す力と、前から押し返す力の差：Δp×πD24\sklDp \times \tfrac{\pi \sryD^2}{4}
  • 壁が水を引き止める摩擦の力：壁の1 m² あたりの摩擦の力 τ\tau × 壁の面積 πDL\pi\sryD\sklL

この2つが等しいので、

Δp πD24=τ πDL⟹Δp=4τ LD\sklDp\,\dfrac{\pi \sryD^2}{4} = \tau\,\pi\sryD\sklL \qquad\Longrightarrow\qquad \sklDp = 4\tau\,\dfrac{\sklL}{\sryD}

L/D\sklL/\sryD が出てくるのは、押す面積が D2\sryD^2、こする壁の面積が DL\sryD\sklL に比例するからです。壁の摩擦の力 τ\tau を、速さの分 12ρv2\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2 の何倍かで表し、その倍率の4倍を λ\sryLam と名付けると、Δp=λ LD 12ρv2\sklDp = \sryLam\,\tfrac{\sklL}{\sryD}\,\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2 になります。

層流の 64/Re：層流では、速さの分布が放物線になり（粘性とレイノルズ数（層流と乱流））、損失は計算で出せます（ハーゲン・ポアズイユの式）。

Δp=128 μ L QπD4=64Re LD 12ρv2\sklDp = \dfrac{128\,\sryMu\,\sklL\,\sryQ}{\pi\sryD^4} = \dfrac{64}{\sryRe}\,\dfrac{\sklL}{\sryD}\,\dfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2

右の形に直すと、λ=64/Re\sryLam = 64/\sryRe です。乱流の λ は、計算では出せず、実験から決めた式（ブラジウスの式など）を使います。

1.75乗と −4.75乗：同じ管で、v∝Q/D2\sryV \propto \sryQ/\sryD^2、Re∝Q/D\sryRe \propto \sryQ/\sryD、λ∝Re−0.25\sryLam \propto \sryRe^{-0.25} を入れると、

Δp∝(QD)−0.25⋅1D⋅(QD2)2=Q1.75 D−4.75\sklDp \propto \left(\dfrac{\sryQ}{\sryD}\right)^{-0.25} \cdot \dfrac{1}{\sryD} \cdot \left(\dfrac{\sryQ}{\sryD^2}\right)^2 = \sryQ^{1.75}\,\sryD^{-4.75}

熱力学の熱抵抗と見比べる：「圧力の差 ＝ 流れにくさ × 流量」と書くと、熱抵抗と放熱（対流） の「温度の差 ＝ 熱抵抗 × 熱の流れ」と同じ形です。ただし、そのまま比例するのは層流のときだけで、乱流では、流れにくさが流量で変わります。

例題

例題1　畑の散水ホース

畑で、内径 12 mm・長さ 30 m のホースに、水（20℃）を毎分 10 L 流します。ホースはまっすぐで、内側はなめらかとします。

(1) 平均の流速と、レイノルズ数はいくらですか。(2) ホースの入口と出口の圧力の差（摩擦の損失）はいくらですか。水の柱の高さにすると何 m ですか。

ヒント 1 / 2

まず連続の式で流速を出し、Re で層流か乱流かを決めます。乱流なら λ=0.3164 Re−0.25\lambda = 0.3164\,Re^{-0.25} です。

ヒント 2 / 2

Δp=λ (L/D) 12ρv2\Delta p = \lambda\,(L/D)\,\tfrac{1}{2}\rho v^2。水の柱の高さは Δp/(ρg)\Delta p/(\rho g) です。

答えと解き方を見る
(1) v=10×10−3/60π×0.0122/4=1.47 m/s,Re=17,600 (乱流)(1)\ \sryV = \dfrac{10 \times 10^{-3}/60}{\pi \times 0.012^2/4} = 1.47\ \mathrm{m/s},\quad \sryRe = 17{,}600\ (\text{乱流})
(2) λ=0.3164×17,600−0.25=0.0275,Δp=0.0275×300.012×12×998.2×1.472=74.4 kPa  (7.6 m)(2)\ \sryLam = 0.3164 \times 17{,}600^{-0.25} = 0.0275,\quad \sklDp = 0.0275 \times \dfrac{30}{0.012} \times \dfrac{1}{2} \times 998.2 \times 1.47^2 = 74.4\ \mathrm{kPa}\ \ (7.6\ \mathrm{m})

  1. 平均の流速（流量 ÷ 断面積。連続の式）

    v=QπD2/4=167×10−6π×0.0122/4=1.47 m/s\htmlClass{q-displacement}{v} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\pi \htmlClass{q-geometry}{D}^2/4} = \dfrac{167 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.012^2/4} = 1.47\ \mathrm{m/s}

  2. レイノルズ数（2300 より上なので乱流）

    Re=v Dν=1.47×0.0121.004×10−6=17,600\htmlClass{q-material}{Re} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v}\,\htmlClass{q-geometry}{D}}{\htmlClass{q-material}{\nu}} = \dfrac{1.47 \times 0.012}{1.004\times 10^{-6}} = 17{,}600

  3. 管摩擦係数（乱流・なめらかな管：ブラジウスの式）

    λ=0.3164 Re−0.25=0.3164×17,600−0.25=0.0275\htmlClass{q-material}{\lambda} = 0.3164\,\htmlClass{q-material}{Re}^{-0.25} = 0.3164 \times 17{,}600^{-0.25} = 0.0275

  4. 摩擦で失う圧力（損失）

    Δp=λ LD 12ρ v2=0.0275×300.012×12×998.2×1.472=74.4 kPa\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \htmlClass{q-material}{\lambda}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-geometry}{D}}\,\dfrac{1}{2}\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2 = 0.0275 \times \dfrac{30}{0.012} \times \dfrac{1}{2} \times 998.2 \times 1.47^2 = 74.4\ \mathrm{kPa}

  5. 損失を、水の柱の高さに直す（損失水頭）

    hL=Δpρ g=74,400998.2×9.807=7.6 m\htmlClass{q-geometry}{h_{\mathrm{L}}} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\Delta p}}{\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{74{,}400}{998.2 \times 9.807} = 7.6\ \mathrm{m}

  6. 摩擦で熱に変わる動力（損失 × 流量）

    PL=Δp Q=74,400×167×10−6=12.4 W\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{L}}} = \htmlClass{q-stress}{\Delta p}\,\htmlClass{q-displacement}{Q} = 74{,}400 \times 167 \times 10^{-6} = 12.4\ \mathrm{W}

水の柱にすると 7.6 m。2階の屋根の高さほどまで水を押し上げられる圧力が、30 m 進む間に、摩擦で熱に変わります。

例題2　油圧の配管（層流）

油圧の機械で、内径 8 mm・長さ 3 m の配管に、作動油（VG32、40℃、密度 860 kg/m³、動粘度 32 mm²/s）を毎分 10 L 流します。

(1) レイノルズ数と管摩擦係数はいくらですか。(2) 損失はいくらですか。(3) 流量を2倍にすると、損失は何倍になりますか。

ヒント 1 / 2

Re が 2300 より小さいので、λ=64/Re\lambda = 64/Re を使います。

ヒント 2 / 2

(3) は、λ∝1/v\lambda \propto 1/v と 12ρv2∝v2\tfrac{1}{2}\rho v^2 \propto v^2 をかけ合わせて考えます。

答えと解き方を見る
(1) Re=3.32×0.00832×10−6=829 (層流),λ=64829=0.0772(1)\ \sryRe = \dfrac{3.32 \times 0.008}{32 \times 10^{-6}} = 829\ (\text{層流}),\quad \sryLam = \dfrac{64}{829} = 0.0772
(2) Δp=0.0772×30.008×12×860×3.322=137 kPa(2)\ \sklDp = 0.0772 \times \dfrac{3}{0.008} \times \dfrac{1}{2} \times 860 \times 3.32^2 = 137\ \mathrm{kPa}
(3) 274 kPa で 2 倍(3)\ 274\ \mathrm{kPa}\ \text{で}\ 2\ \text{倍}

層流では、管摩擦係数が Re に反比例して小さくなるので、損失は速さの2乗ではなく、速さ（流量）に比例します。

水のホースの乱流では、流量2倍で 3.36倍でした。油の層流では、ちょうど 2倍です。

例題3　太いホースに替える

内径 15 mm・20 m のホースに、毎分 12 L の水を流すと、損失は 23.7 kPa でした。同じ 20 m・毎分 12 L で、内径 18 mm のホースに替えます。

(1) 損失はいくらになりますか。(2) 18 mm のホースなら、損失が 23.7 kPa のままで、何 m まで延ばせますか。

ヒント 1 / 2

乱流（ブラジウスの範囲）では、同じ流量で Δp∝D−4.75\Delta p \propto D^{-4.75} です。(15/18)4.75(15/18)^{4.75} を計算してもかまいません。

ヒント 2 / 2

(2) 損失は長さに比例します。

答えと解き方を見る
(1) Δp=9.95 kPa  (15 mm の 0.42 倍)(1)\ \sklDp = 9.95\ \mathrm{kPa}\ \ (15\ \text{mm の}\ 0.42\ \text{倍})
(2) L=20×23.79.95=47.5 m(2)\ \sklL = 20 \times \dfrac{23.7}{9.95} = 47.5\ \mathrm{m}

  1. 平均の流速（流量 ÷ 断面積。連続の式）

    v=QπD2/4=200×10−6π×0.0182/4=0.786 m/s\htmlClass{q-displacement}{v} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\pi \htmlClass{q-geometry}{D}^2/4} = \dfrac{200 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.018^2/4} = 0.786\ \mathrm{m/s}

  2. レイノルズ数（2300 より上なので乱流）

    Re=v Dν=0.786×0.0181.004×10−6=14,100\htmlClass{q-material}{Re} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v}\,\htmlClass{q-geometry}{D}}{\htmlClass{q-material}{\nu}} = \dfrac{0.786 \times 0.018}{1.004\times 10^{-6}} = 14{,}100

  3. 管摩擦係数（乱流・なめらかな管：ブラジウスの式）

    λ=0.3164 Re−0.25=0.3164×14,100−0.25=0.029\htmlClass{q-material}{\lambda} = 0.3164\,\htmlClass{q-material}{Re}^{-0.25} = 0.3164 \times 14{,}100^{-0.25} = 0.029

  4. 摩擦で失う圧力（損失）

    Δp=λ LD 12ρ v2=0.029×200.018×12×998.2×0.7862=9.95 kPa\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \htmlClass{q-material}{\lambda}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-geometry}{D}}\,\dfrac{1}{2}\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2 = 0.029 \times \dfrac{20}{0.018} \times \dfrac{1}{2} \times 998.2 \times 0.786^2 = 9.95\ \mathrm{kPa}

  5. 損失を、水の柱の高さに直す（損失水頭）

    hL=Δpρ g=9,950998.2×9.807=1.02 m\htmlClass{q-geometry}{h_{\mathrm{L}}} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\Delta p}}{\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{9{,}950}{998.2 \times 9.807} = 1.02\ \mathrm{m}

  6. 摩擦で熱に変わる動力（損失 × 流量）

    PL=Δp Q=9,950×200×10−6=1.99 W\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{L}}} = \htmlClass{q-stress}{\Delta p}\,\htmlClass{q-displacement}{Q} = 9{,}950 \times 200 \times 10^{-6} = 1.99\ \mathrm{W}

内径を 1.2 倍にしただけで、損失は約 4 割に下がります。同じ損失なら、47.5 m と、2倍以上の長さまで延ばせます。