屋上へ揚げる電気の、3分の2は熱になるポンプの揚程と動力

屋上のタンクへ、水を揚げるには

マンションや学校の屋上には、大きな水のタンクが置かれていることがあります。地上の水槽の水を、ポンプで屋上まで揚げてためておき、そこから各階の蛇口へ、高さの力で水を送ります。

ポンプは、モーターで羽根車を回して、水に圧力をかけて押し出す機械です。では、毎分 20 L の水を、高さ 10 m の屋上へ揚げるには、何 W の電気が要るのでしょうか。

予想してから読む屋上へ揚げる水の量を、毎分 20 L から2倍の 40 L にする（高さ・管・ポンプはそのまま）。要る電気は何倍になる？

A2倍B2倍より大きいC2倍より小さい

公式はこれ

$$\spuPw = \sryRho\,\sryG\,\spuQ\,\spuH \qquad \spuPe = \dfrac{\spuPw}{\spuEta}$$

答えは 104 W です。このうち、水を屋上へ持ち上げるのに使われるのは 32.6 W だけです。残りがどこへ行くのかを、順に見ていきます。

水を持ち上げる分：32.6 W

まず、管の損失がないとして、水を高さ 10 m へ持ち上げる分だけを考えます。

毎分 20 L の水は、毎秒 0.333 L です。水 1 L はほぼ 1 kg なので、毎秒 0.333 kg の水を 10 m 持ち上げることになります。位置エネルギー $mgh$ を毎秒あたりで出すと、

$$\spuPz = \sryRho\,\sryG\,\spuQ\,\spuZ = 998.2 \times 9.807 \times 0.333 \times 10^{-3} \times 10 = 32.6\ \mathrm{W}$$

1秒に 32.6 J。これが「高さの分の水の動力」です。井戸のつるべで水を汲み上げるときに、手が綱を引いてする仕事と同じものです。

財布の中身の両替（ベルヌーイの定理）で言えば、ポンプは財布に外からお金を足す機械です。ポンプは水に圧力の分を足し、その圧力の分が、管を上るあいだに高さの分へ両替されます。

揚程 ＝ 高さ ＋ 管の損失

ところが、管の中を流れる水は、管の壁との摩擦で、財布の中身を少しずつ熱に払っていきます。管の摩擦損失 で見た、管の摩擦損失です。

ポンプは、この払う分まで足してやらないと、水を屋上まで届けられません。そこで、ポンプが受け持つ高さを、

$$\spuH = \spuZ + \spuHl$$

と考えます。この $\spuH$ を揚程といいます。管の損失 $\spuHl$ も、圧力ではなく「水の柱の高さ」で言い表しておくと、そのまま高さに足せます。

庭のホースと同じ内径 15 mm・長さ 20 m の管に、毎分 20 L を通すと、

• 管の中の流速：$\spuV = 1.89\ \mathrm{m/s}$（レイノルズ数は約 2.8万で乱流）
• 管摩擦係数：$\spuLam = 0.0244$
• 管の損失：$\spuHl = 0.0244 \times \dfrac{20}{0.015} \times \dfrac{1.89^2}{2 \times 9.807} = 5.91\ \mathrm{m}$

損失だけで 5.91 m。屋上の高さ 10 m の6割にもなります。揚程は 15.9 m で、水の動力は

$$\spuPw = 998.2 \times 9.807 \times 0.333 \times 10^{-3} \times 15.9 = 51.9\ \mathrm{W}$$

高さの分 32.6 W に、管の損失の分 19.3 W が加わりました。

管を太くすると、損失はみるみる減ります。同じ毎分 20 L・長さ 20 m・効率 50% で比べます。

内径を 15 mm から 25 mm にすると、損失は約11分の1です。揚程はほぼ高さの 10 m だけになり、損失がないときの 65.3 W（32.6 W ÷ 0.5）に近づきます。

流量を2倍にすると

高さ・管・ポンプをそのままにして、流量だけを変えてみます。

流量を2倍にすると、高さの分の動力は2倍です。ところが管の損失は、流速の2乗近く（流量の 1.75 乗）で増えるので、5.91 m が 19.9 m の約3.4倍になります。電気は 104 W から 390 W の約3.8倍です。

屋上のタンクのように、水をためておける場合は、急いで揚げる必要はありません。ゆっくり揚げるほど、同じ量の水を少ない電気で揚げられます。

電気は、効率で割る

ポンプに入れた電気が、すべて水に渡るわけではありません。モーターの中では電線の抵抗で熱が出て、ポンプの中では、羽根車のまわりで水がかき回されて熱になります。電気のうち、水の動力になる割合を、ここではポンプの効率 $\spuEta$ と呼びます（モーターとポンプを合わせた、電気から水への効率）。

$$\spuPe = \dfrac{\spuPw}{\spuEta} = \dfrac{51.9}{0.5} = 104\ \mathrm{W}$$

では、実際の家庭用のポンプは、どれくらいの効率なのでしょうか。メーカーが公開している仕様書の数字から計算してみます（日立の井戸用ポンプの仕様書。2026-11-04 に確認）。

どちらも、電気の1割余りしか水に渡っていません。家庭用の小さなポンプは、作りやすさや、空気をかんでも水を吸い上げられることなどを優先していて、効率はあまり高くありません。上の数字は仕様書の1つの運転の点での値で、流量や揚程が変わると効率も変わります。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\spuPe = \underbrace{\sryRho\,\sryG}_{\text{水の重さ}} \times \underbrace{\spuQ\,\spuH}_{\text{量 × 高さ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\spuEta}}_{\text{機械の損}}$$

1. 水の重さ $\sryRho\sryG$　水 1 m³ の重さで、約 9.79 kN。油のように軽い液体なら、この分が小さくなります。
2. 量 × 高さ $\spuQ\spuH$　毎秒、どれだけの体積を、どれだけの高さへ持ち上げるか。高さには、管の損失も入っています。
3. 機械の損 $1/\spuEta$　効率 50% なら2倍、効率 15% なら約 6.7倍の電気が要ります。

$\sryRho\sryG\spuH$ は、高さ $\spuH$ の水の柱の底の圧力です。だから水の動力は「ポンプが水に足す圧力 × 流量」とも読めます。初期値では、ポンプの出口で 156 kPa（ゲージ）の圧力を足しています。

どの数字がいちばん効く？

屋上 10 m・毎分 20 L・内径 15 mm・長さ 20 m・効率 50% から、それぞれの数字を 10% 変えたとき、要る電気がどう変わるかを並べます。

流量と管の太さが、高さよりもよく効きます。どちらも、管の損失を通して効いてくるからです。

動かしてみよう

揚げる高さ $\spuZ$ のスライダーを動かすと、建物と揚程の棒の灰色の部分が、同じ尺度で伸び縮みします。その上に積まれた黄土色の部分が、管の損失です。

管の内径 $\spuD$ を替えたり、流量 $\spuQ$ を変えたりすると、黄土色の部分が大きく変わります。右の棒（スマホでは下の棒）は、毎秒のエネルギーの行き先です。下から、水を持ち上げる分、管の摩擦で熱になる分、ポンプの中で熱になる分です。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、どの部分が増えたのかが並べて見られます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1揚げる高さ z を2倍の 20 m にする（流量・管はそのまま）。高さの分と損失の分の棒を、それぞれ見る（まだ）
2. 2管の内径 D を 25 mm に替えて、揚程の棒の上の、管の損失の分を見る（まだ）
3. 3ポンプの効率 η を、家庭用の小さなポンプに近い 15% にする（まだ）

z揚げる高さ−m＋

Q流量−L/min＋

L管の長さ−m＋

D管の内径

15 mm（庭のホース）20 mm25 mm

ηポンプの効率−%＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べるポンプに入れる電気は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{e}}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{w}}}}{\htmlClass{q-material}{\eta}}$$$$= \dfrac{51.9}{0.5}$$$$= 104\ \mathrm{W}$$

ポンプに入れる電気

$\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{e}}} = 104\ \mathrm{W}$

揚程（高さ ＋ 管の損失）

$\htmlClass{q-geometry}{H} = 15.9\ \mathrm{m}$

管の損失（水の柱の高さで）

$\htmlClass{q-heat}{h_{\mathrm{L}}} = 5.91\ \mathrm{m}$

水の動力

$\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{w}}} = 51.9\ \mathrm{W}$

熱になる分（ポンプの熱 ＋ 管の損失）

$\htmlClass{q-heat}{P_{\mathrm{熱}}} = 71.2\ \mathrm{W}$

ほかの値（7 個）

高さの分の水の動力

$\htmlClass{q-moment}{P_{z}} = 32.6\ \mathrm{W}$

管の損失の分の水の動力

$\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{L}}} = 19.3\ \mathrm{W}$

管の中の流速

$\htmlClass{q-displacement}{v} = 1.89\ \mathrm{m/s}$

レイノルズ数

$\htmlClass{q-material}{Re} = 28{,}200\$

管摩擦係数

$\htmlClass{q-material}{\lambda} = 0.0244\$

管の損失（圧力で）

$\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = 57.8\ \mathrm{kPa}$

ポンプの出口の圧力（ゲージ）

$\htmlClass{q-stress}{p} = 156\ \mathrm{kPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. 管の中の流速（流量 ÷ 管の断面積）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v} = \dfrac{4\,\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{D}^2} = \dfrac{4 \times 0.333\times 10^{-3}}{\pi \times 0.015^2} = 1.89\ \mathrm{m/s}$$

2. 管の損失（水の柱の高さに直す。管摩擦係数はレイノルズ数から）

   $$\htmlClass{q-heat}{h_{\mathrm{L}}} = \htmlClass{q-material}{\lambda}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-geometry}{D}}\,\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{v}^2}{2\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = 0.0244 \times \dfrac{20}{0.015} \times \dfrac{1.89^2}{2 \times 9.807} = 5.91\ \mathrm{m}$$

3. 揚程（揚げる高さに、管の損失を足す）

   $$\htmlClass{q-geometry}{H} = \htmlClass{q-geometry}{z} + \htmlClass{q-heat}{h_{\mathrm{L}}} = 10 + 5.91 = 15.9\ \mathrm{m}$$

4. 水の動力（毎秒、水に渡すエネルギー）

   $$\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{w}}} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-displacement}{Q}\,\htmlClass{q-geometry}{H} = 998.2 \times 9.807 \times 0.333\times 10^{-3} \times 15.9 = 51.9\ \mathrm{W}$$

5. ポンプに入れる電気（水の動力を、効率で割る）

   $$\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{e}}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{P_{\mathrm{w}}}}{\htmlClass{q-material}{\eta}} = \dfrac{51.9}{0.5} = 104\ \mathrm{W}$$

よくある勘違い

「揚程は、建物の高さのこと」

建物の高さは、揚程の一部です。ポンプが受け持つのは、高さに管の損失を足した分です。

「モーターの出力 200 W のポンプは、水に 200 W を渡す」

モーターの出力は、モーターが羽根車を回す軸の動力です。そこから、ポンプの中で水がかき回されて熱になる分が引かれます。上の表の W-K200NS は 200 W のモーターを積んでいますが、仕様書の運転の点では、水に渡るのは 47.0 W です。

「管が長くても、高さが同じなら、要る電気は同じ」

位置エネルギーの分は、高さだけで決まります。でも、管の損失は長さに比例します。屋上 10 m に、内径 15 mm の管を 20 m 引くと損失は 5.91 m、40 m 引くと 11.8 m です。

この公式が使える条件

• 流れの様子が時間で変わらない（ポンプを回し続けて、流量が落ち着いたとき）
• 管の損失は、まっすぐな、なめらかな管の摩擦だけを入れた（曲がり・弁・継手の損失は入れていない。実際はもっと大きい）
• 吐き出し口から出る水の速さの分（$\spuV^2/2\sryG$、初期値で 0.18 m）は小さいので、揚程に入れていない
• 下の水槽と屋上のタンクの水面は、どちらも大気に開いている
• 効率 $\spuEta$ は一定とした（実際のポンプは、流量と揚程で効率が変わる）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

エネルギーの勘定で導く：下の水槽の水面を場所 1、屋上の吐き出し口を場所 2 とします。財布の中身（1 m³ あたりのエネルギー）の合計を、高さ（水の柱の m）で書くと、

$$\dfrac{\sryP_1}{\sryRho\sryG} + \dfrac{\sryV_1^2}{2\sryG} + \sryZ_1 + \spuH = \dfrac{\sryP_2}{\sryRho\sryG} + \dfrac{\sryV_2^2}{2\sryG} + \sryZ_2 + \spuHl$$

左辺の $\spuH$ はポンプが足す分、右辺の $\spuHl$ は管の摩擦で払う分です。どちらの場所も大気に開いているので $\sryP_1 = \sryP_2 = 0$（ゲージ圧）。水面の速さは 0、吐き出し口の速さの分は小さいので入れないとすると、

$$\spuH = (\sryZ_2 - \sryZ_1) + \spuHl = \spuZ + \spuHl$$

動力：ポンプは、毎秒 $\sryRho\spuQ$ [kg] の水に、1 kg あたり $\sryG\spuH$ [J] のエネルギーを足します。かけ合わせて、

$$\spuPw = \sryRho\,\spuQ \times \sryG\,\spuH = \sryRho\,\sryG\,\spuQ\,\spuH$$

圧力で読むと、ポンプが足す圧力 $\Delta p = \sryRho\sryG\spuH$ で、毎秒 $\spuQ$ の体積を押し出す仕事 $\Delta p \cdot \spuQ$ と同じです。

管の損失：管の摩擦損失 のダルシー・ワイスバッハの式を、水の柱の高さに直したものです。

$$\spuHl = \spuLam\,\dfrac{\spuL}{\spuD}\,\dfrac{\spuV^2}{2\sryG}, \qquad \spuLam = 0.3164\,\spuRe^{-0.25}\ \text{（なめらかな管の乱流）}$$

流量を一定にすると $\spuV \propto 1/\spuD^2$、$\spuRe \propto 1/\spuD$ なので、$\spuHl \propto \spuD^{0.25} \cdot \spuD^{-1} \cdot \spuD^{-4} = \spuD^{-4.75}$。内径を 15 mm から 25 mm にすると $(25/15)^{-4.75} = 0.088$、約11分の1です。