200 N で押して、5,000 N で持ち上げるパスカルの原理と油圧

片手で、車が持ち上がる

タイヤを交換するとき、車の下に小さなジャッキを入れて、レバーを上下に動かします。それだけで、1トンを超える車の片側が、少しずつ持ち上がっていきます。

人の手の力は、せいぜい数百 N です。ジャッキの中では、何が手の力を何十倍にもしているのでしょうか。

予想してから読む油でつながった2本のピストンがあります。大きいほうの直径は、小さいほうの5倍です。小さいほうを 200 N で押すと、大きいほうは何 N の力で押し上げる？

A1,000 N（5倍）B5,000 N（25倍）C200 N（同じ）

公式はこれ

$$\spaFTwo = \spaFOne \times \dfrac{\spaATwo}{\spaAOne}$$

面積の比は 25倍。持ち上げる力は、押す力の25倍の 5,000 N です。質量にすると、9.807 m/s² で割って約 510 kg。乗用車の片側を持ち上げられる力です。

同じ圧力が、広い面を押す

圧力は、どこにも同じだけ伝わる

閉じた入れ物に入った液体の一部を押すと、その圧力は、液体の中のどこにも同じ大きさで伝わります。17世紀のフランスの科学者パスカルが、この性質をまとめました。そのためパスカルの原理と呼ばれます。圧力の単位 Pa（パスカル）も、この人の名前です。

注射器を2本、細い管でつないで水を入れると、片方を押せば、もう片方が押し出されます。太い注射器と細い注射器をつなぐと、押す感じが、指の側でまったく違います。

押す力を、面積で割る

まず、小さいピストンを押して、油に圧力を作ります。圧力は、力 ÷ 面積です。直径 10 mm のピストンの面積は 78.5 mm² なので、

$$\spaP = \dfrac{\spaFOne}{\spaAOne} = \dfrac{200\ \mathrm{N}}{78.5\ \mathrm{mm^2}} = 2.55\ \mathrm{MPa}$$

1 MPa は、1 mm² あたり 1 N です。2.55 MPa は、水深約 250 m の海の底の水の圧力（ゲージ圧）とほぼ同じです（静水圧（深さと圧力））。

同じ圧力に、面積をかける

この 2.55 MPa が、油の中をそのまま伝わり、大きいピストンの下の面を押します。面積は 1,963 mm² なので、

$$\spaFTwo = \spaP\,\spaATwo = 2.55\ \mathrm{N/mm^2} \times 1963\ \mathrm{mm^2} = 5000\ \mathrm{N}$$

2つの式をまとめると、$\spaFTwo = \spaFOne \times \spaATwo/\spaAOne$ です。力が増えるのは、同じ圧力が、より広い面を押すからです。

2本のピストンの高さの差による水の圧力（$\sryRho\sryG\sryH$）は、10 cm の差でも 1 kPa に届きません。2.55 MPa に比べれば、2500分の1以下なので、ここでは考えません。

力が増えた分、距離が増える

押し込んだ油は、向こうへ移るだけ

力が25倍になって、得をしたように見えます。でも、代わりに払っているものがあります。動く距離です。

油は、押してもほとんど縮みません。小さいピストンが押し込んだ油は、そっくり大きいほうへ移ります。

$$\spaAOne\,\spaXOne = \spaATwo\,\spaXTwo$$

大きいピストンを 10 mm 上げるには、1,963 mm² × 10 mm ＝ 19,635 mm³ の油が要ります。小さいピストンでそれを押し込むには、19,635 ÷ 78.5 ＝ 250 mm 押さなければなりません。

$$\spaXOne = \spaXTwo \times \dfrac{\spaATwo}{\spaAOne} = 10\ \mathrm{mm} \times 25 = 250\ \mathrm{mm}$$

仕事は、どちらも同じ

力 × 動いた距離（仕事）を、両方で比べます。

$$\spaFOne\,\spaXOne = 200\ \mathrm{N} \times 0.25\ \mathrm{m} = 50\ \mathrm{J}$$ $$\spaFTwo\,\spaXTwo = 5000\ \mathrm{N} \times 0.01\ \mathrm{m} = 50\ \mathrm{J}$$

どちらも 50 J です。油圧ジャッキは、エネルギーを増やす道具ではありません。「小さい力 × 長い距離」を「大きい力 × 短い距離」に替える道具です。

この交換は、てこや、機構学の トグル機構（小さな力で大きな力）・送りねじ と同じです。どれも、力が何倍になった分だけ、動く距離が何分の1になります。

本物のジャッキは、何度も押す

車を 100 mm 上げるのに、小さいピストンを 2.5 m も押すことはできません。本物のジャッキは、小さいピストンを短い距離だけ押しては戻す動きを、何十回もくり返します。

ジャッキの中には、油の通り道に、一方にしか開かない弁が2つあります。小さいピストンを引くと、油だめから油を吸い込み、押すと、その油を大きいピストンの側へ送ります。弁があるので、送った油は戻りません。

手はレバー（てこ）を押すので、力はさらに何倍にもなります。てこで10倍、油で11.1倍なら、合わせて約111倍です（例題1）。

下の盤は、このしくみを小さなショベルにつないだものです。レバーをこぐと、油が太いシリンダへ送られ、腕がバケットの石を持ち上げます。力が何倍になるかと、1回こいで何 mm 上がるかを、数で確かめてください。

油圧のショベル手でポンプをこぐと、油が太いシリンダへ送られ、腕がバケットの石を持ち上げます。こいで確かめてください初期値に戻す

例本文の例（10 mm と 50 mm）重い石（2,000 N）太いシリンダ（80 mm）長い柄（てこ比 10）

▶ ポンプをこぐ（1回）自動でこぐ下ろすこいだ回数 0 回・バケットの高さ 0 mm

持ち上がる荷 1,000 N は、上限の 1,250 N 以下です。1回こぐたびに、バケットが 4 mm ずつ上がります。

赤く塗った油は、ポンプの下・ホース・シリンダの下のどこでも同じ圧力です（赤い小さな矢印）。朱の矢印の長さは力に比例し、どれも同じ尺度です。手の力・F₁ は短すぎるので、矢じりだけで描いています。圧力計は 0〜40 MPa。針が手の力で作る圧力、外の三角が荷を上げるのに要る圧力です。

手で押す力 F_手 ＝ 40 N

20200

柄のてこ比 ＝ 5 倍

210

小さいピストンの直径 d₁ ＝ 10 mm

820

太いシリンダの直径 d₂ ＝ 50 mm

3080

バケットの荷 W ＝ 1,000 N（約 102 kg の石）

1002,500

てこ比は、柄の支点から手までの長さ ÷ 支点からピストンの棒までの長さです。通路の2つの黒い玉は、油を一方にだけ通す弁です。

力のつながり（いまの値）

柄のてこF₁ ＝ F_手 × てこ比 ＝ 40 N × 5 ＝ 200 N

油の圧力p ＝ F₁ ÷ A₁ ＝ 200 N ÷ 78.5 mm² ＝ 2.55 MPa

太いシリンダF₂ ＝ p × A₂ ＝ 2.55 MPa × 1,963 mm² ＝ 5,000 N

腕のてこW_上限 ＝ F₂ × a ÷ b ＝ 5,000 N × 100 ÷ 400 ＝ 1,250 N

力の倍率（全体）てこ 5 × 面積の比 25 × 腕 1/4 ＝ 31.25 倍

面積の比 A₂ ÷ A₁

25 倍

持ち上げられる荷の上限

1,250 N（約 127 kg）

いまの荷 1,000 N は

持ち上がる

腕のてこは、支点まわりのモーメントのつり合い F₂ × a ＝ W × b です。シリンダは支点の近くを押すので、ここでは力が 4 分の1 に減り、その代わりバケットが大きく動きます。

力が増えた分、動く距離が減る

シリンダの伸びx₂ ＝ x₁ × A₁ ÷ A₂ ＝ 25 mm × 78.5 ÷ 1,963 ＝ 1 mm

バケットの上がりx₂ × b ÷ a ＝ 1 mm × 4 ＝ 4 mm

1回こぐと、手が動く距離

125 mm

1回こぐと、バケットが上がる高さ

4 mm

160 mm 上げるのに、こぐ回数

40 回

そのあいだに、手が動く距離

5 m

ポンプのピストンは、1回に x₁ ＝ 25 mm 動きます（固定）。力は 31.25 倍、動く距離は 31.25 分の1 です。

仕事は、増えない（160 mm 上げきるまで）

手のした仕事32 N × 5 m ＝ 160 J

荷が得たエネルギーW × 高さ ＝ 1,000 N × 0.16 m ＝ 160 J

いままでに、こいだ回数

0 回

いままでに、荷が得たエネルギー

0 J

手の 32 N は、この荷とちょうどつり合う力（W ÷ 31.25）です。ゆっくり上げるなら、F_手 の 40 N いっぱいまで押さなくても上がります。

理想の場合の計算です（油は縮まない・漏れと摩擦なし・腕と油の重さは無視・シリンダはまっすぐ上に押す）。実物では、摩擦や漏れの分だけ、持ち上げられる荷は少し小さくなります。 図の長さと直径は、どれも同じ縮尺で描いています。圧力計の針は、手が F_手 いっぱいで押しているときの値です。 本物の油圧ショベルは、手の代わりにエンジンでポンプを回し、もっと高い圧力の油を送ります（本文の「つまり、ものを作るときは」）。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\spaFTwo = \underbrace{\dfrac{\spaFOne}{\spaAOne}}_{\text{押して作る圧力}} \times \underbrace{\spaATwo}_{\text{圧力を受ける面積}}$$

1. 押して作る圧力 $\spaFOne/\spaAOne$　同じ力でも、細いピストンで押すほど、油の圧力は高くなります。
2. 圧力を受ける面積 $\spaATwo$　同じ圧力でも、太いピストンほど、大きな力になります。

面積は直径の2乗に比例するので、直径の比が2乗で効きます。

どの数字がいちばん効く？

直径 10 mm と 50 mm、200 N で押す例から、それぞれを10%変えたときの、持ち上げる力の変化を並べます。

効くのは、2本の直径です。ただし、力が増えた分だけ、押す距離も同じ割合で増えます。

つまり、ものを作るときは

動かしてみよう

押す力 $\spaFOne$ を変えると、油の圧力の3つの札が、そろって同じ値に変わります。小さいピストンの下・通路・大きいピストンの下、どこでも同じです。

大きいピストンの直径 $\spaDTwo$ を変えると、右の断面の円が大きくなり、持ち上げる力が直径の2乗で増えます。赤い圧力の矢印は、長さは同じまま、本数が増えます。荷の箱のマス1つが、押す力 1つ分です。マスの数が、そのまま力の倍率です。

上げる高さ $\spaXTwo$ を変えると、ピストンが実際に動きます。2本とも同じ縮尺なので、大きいほうがわずかに上がる間に、小さいほうが面積の比の分だけ下がるのが見えます。右下の勘定で、2つの仕事がいつも同じになることを確かめてください。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1直径はそのまま、押す力 F1 を2倍の 400 N にする。油の中の3つの圧力の札と、持ち上げる力を見る（まだ）
2. 2押す力は 200 N のまま、大きいピストンの直径 d2 を2倍の 100 mm にする（まだ）
3. 3初めの直径（10 mm と 50 mm）で、上げる高さ x2 を 100 mm にする。小さいピストンを押す距離を見る（まだ）

d1小さいピストンの直径−mm＋

d2大きいピストンの直径−mm＋

F1小さいピストンを押す力−N＋

x2大きいピストンを上げる高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる持ち上げる力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{F_2} = \htmlClass{q-stress}{p}\,\htmlClass{q-geometry}{A_2} = \htmlClass{q-force}{F_1} \times \htmlClass{q-geometry}{A_2/A_1}$$$$= 200 \times 25$$$$= 5{,}000\ \mathrm{N}\ (510\ \mathrm{kg}\ \text{の重さ})$$

油の圧力（ゲージ圧）

$\htmlClass{q-stress}{p} = 2.55\ \mathrm{MPa}$

面積の比

$\htmlClass{q-geometry}{A_2/A_1} = 25\$

持ち上げる力

$\htmlClass{q-force}{F_2} = 5{,}000\ \mathrm{N}$

持ち上げられる質量

$\htmlClass{q-force}{m} = 510\ \mathrm{kg}$

小さいピストンを押す距離

$\htmlClass{q-displacement}{x_1} = 250\ \mathrm{mm}$

仕事（押す側 ＝ 持ち上げる側）

$\htmlClass{q-moment}{W} = 50\ \mathrm{J}$

途中の計算（導出）を見る

1. 油の圧力（小さいピストンを押す力 ÷ その面積）

   $$\htmlClass{q-stress}{p} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F_1}}{\htmlClass{q-geometry}{A_1}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F_1}}{\pi \htmlClass{q-geometry}{d_1}^2/4} = \dfrac{200\ \mathrm{N}}{78.5\ \mathrm{mm^2}} = 2.55\ \mathrm{MPa}$$

2. 面積の比（直径の比の2乗）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A_2/A_1} = \left(\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{d_2}}{\htmlClass{q-geometry}{d_1}}\right)^2 = \left(\dfrac{50}{10}\right)^2 = 25$$

3. 持ち上げる力（同じ圧力が、大きいピストンの面積を押す）

   $$\htmlClass{q-force}{F_2} = \htmlClass{q-stress}{p}\,\htmlClass{q-geometry}{A_2} = \htmlClass{q-force}{F_1} \times \htmlClass{q-geometry}{A_2/A_1} = 200 \times 25 = 5{,}000\ \mathrm{N}\ (510\ \mathrm{kg}\ \text{の重さ})$$

4. 小さいピストンを押す距離（押し込んだ油の体積 ＝ 大きいほうに入る体積）

   $$\htmlClass{q-displacement}{x_1} = \htmlClass{q-displacement}{x_2} \times \htmlClass{q-geometry}{A_2/A_1} = 10\ \mathrm{mm} \times 25 = 250\ \mathrm{mm}$$

5. 仕事（押す側と、持ち上げる側で同じ）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-force}{F_1}\,\htmlClass{q-displacement}{x_1} = \htmlClass{q-force}{F_2}\,\htmlClass{q-displacement}{x_2} = 200 \times 0.25 = 5{,}000 \times 0.01 = 50\ \mathrm{J}$$

よくある勘違い

「力が25倍になるなら、エネルギーも25倍になる」

増えるのは力だけです。動く距離は25分の1になるので、仕事（エネルギー）は同じです。

実際には、摩擦や漏れがあるので、持ち上げる側の仕事は、押した仕事より少し小さくなります。

「大きいピストンの下ほど、圧力が大きい」

大きいピストンの下でも、小さいピストンの下でも、圧力は同じ 2.55 MPa です。大きいのは、力のほうです。圧力 × 面積 ＝ 力なので、面積が広い分だけ、力が大きくなります。

「油の代わりに、空気でも同じことができる」

力の比は、空気でも同じです。でも、空気は押すと縮みます。小さいピストンを押しても、はじめは空気が縮むだけで、大きいピストンはなかなか動きません。車のブレーキの油に空気が混じると、ペダルが奥まで沈むのは、このためです（例題3）。

車のジャッキに戻る

直径 10 mm と 50 mm のピストンなら、200 N の力で、約 510 kg の重さを持ち上げられます。手で押すのはジャッキのレバーなので、てこの分だけ、手の力はもっと小さくてすみます。

その代わり、車は少しずつしか上がりません。レバーを何十回も往復させるのは、力を大きくした代わりに、距離で払っているからです。

この公式が使える条件

• 液体が押し縮められない（油や水。空気では、縮む分だけずれる）
• 摩擦・漏れがない（実際の力は、これより少し小さい）
• 2本のピストンの高さの差による $\sryRho\sryG\sryH$ が、押して作る圧力に比べて小さい
• ゆっくり動かす（油の流れの勢いを考えない）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

圧力が、どこでも同じになる理由：油の中に、2つの点を結ぶ細い棒の形の油のかたまりを考えます。かたまりは止まっているので、両端を押す力が釣り合います。棒の断面積を $a$ とすると、$p_1 a = p_2 a$、だから $p_1 = p_2$ です（高さの差による $\sryRho\sryG\sryH$ は、ここでは小さいとして除きました）。どの2点を選んでも同じなので、油の中の圧力は、どこでも同じです。

力の比：小さいピストンが油を押す圧力は $\spaP = \spaFOne/\spaAOne$。同じ圧力が大きいピストンを押す力は $\spaFTwo = \spaP\,\spaATwo$。

$$\spaFTwo = \dfrac{\spaFOne}{\spaAOne}\,\spaATwo = \spaFOne \times \dfrac{\spaATwo}{\spaAOne}$$

距離の比：油の体積は変わらないので、$\spaAOne\,\spaXOne = \spaATwo\,\spaXTwo$。

仕事が同じこと：2つをかけ合わせると、

$$\spaFOne\,\spaXOne = \left(\spaFTwo\,\dfrac{\spaAOne}{\spaATwo}\right)\left(\spaXTwo\,\dfrac{\spaATwo}{\spaAOne}\right) = \spaFTwo\,\spaXTwo$$

面積の比が打ち消し合います。逆に、「仕事が同じ」と「体積が同じ」から出発しても、力の比が求まります。