水の量が2倍でも、底の圧力は同じ静水圧（深さと圧力）

潜ると、耳が押される

プールの底に沈んだものを拾おうとして、深く潜ったことはありますか。2〜3 m 潜っただけで、耳の奥がぎゅっと押されるように感じます。

耳を押しているのは、まわりの水の圧力です。圧力は、面を押す力を、面の広さで割ったもの。単位は Pa（1 m² あたり 1 N）です。

では、深さ 10 m の海の中では、どれだけの圧力がかかっているのでしょうか。水の量が多い海と、細い筒の中では、同じ深さでも圧力は違うのでしょうか。

予想してから読む底の広さと水の深さが同じ、形の違う3つの入れ物があります。底の圧力がいちばん大きいのはどれ？

A上が広く、水がいちばん多い入れ物B3つとも同じC上がすぼまった、水がいちばん少ない入れ物

公式はこれ

$$\ssaP = \sryRho\,\sryG\,\ssaH$$ $$\ssaP = 1025 \times 9.807 \times 10 = 100.5\ \mathrm{kPa}$$

水深 10 m の海では、まわりの空気の圧力（大気圧 101.3 kPa）に、水の分の 100.5 kPa が加わります。ほぼ同じ大きさです。

圧力は、上に載った水の重さ

1 m² の水の柱で考える

式の出どころを見ます。海の中の深さ 10 m の所に、1 m² の板を水平に置いたとします。板の上には、断面 1 m²・高さ 10 m の水の柱が載っています。

この柱の体積は 10 m³ で、海水の質量は 1 m³ あたり 1025 kg です。だから柱の質量は 10,250 kg。重さ（力）にすると、重力加速度 9.807 m/s² をかけて、100.5 kN です。

この力が 1 m² の板に載っているので、圧力は 100.5 kPa です。

1. 柱の質量：密度 × 体積 ＝ $\sryRho \times (\sryA\,\ssaH)$
2. 柱の重さ：質量 × $\sryG$ ＝ $\sryRho\,\sryA\,\ssaH\,\sryG$
3. 圧力：重さ ÷ 面積 $\sryA$ ＝ $\sryRho\,\sryG\,\ssaH$

最後の割り算で、板の面積 $\sryA$ が消えます。板を 2 m² にしても、柱の重さが2倍になり、2 m² で割るので、圧力は同じです。

深さを、圧力に両替する

ベルヌーイの定理 で使う「財布の中身の両替」でいうと、水面から下りるほど、高さの分が圧力の分に両替されていきます。深さ 1 m の真水なら、9.79 kPa ずつです。

ゲージ圧と絶対圧

圧力計の多くは、まわりの空気の圧力を 0 として測ります。これをゲージ圧といいます。上の 100.5 kPa は、ゲージ圧です。

本当に何もない真空を 0 として測るのが絶対圧です。水面の上には空気があり、空気も水面を押しています。その分（大気圧 101.3 kPa）を足します。

$$\ssaPabs = \ssaPZero + \ssaP = 101.3 + 100.5 = 201.8\ \mathrm{kPa}$$

水深 10 m の絶対圧は、約 202 kPa。水面（101.3 kPa）の2倍です。さらに 10 m 潜るごとに、大気圧1つ分ずつ増えていきます。

ダイバーが吸う空気のボンベも、肺の中の空気も、この絶対圧で押し縮められます。気体の体積と絶対圧の関係は、熱力学の 気体の状態式（絶対圧と絶対温度） で扱います。数字に「ゲージ」か「絶対」かを書き添えるのは、このためです。

形を変えても、底の圧力は同じ

底の広さと深さが同じ、形の違う3つの入れ物に、水を入れて比べます。

上が広い入れ物には、筒の約2倍の水が入ります。それでも、底の圧力は3つとも同じ 2.94 kPa です。

水の量が多いのに、底の圧力が増えないのはなぜでしょうか。水は、触れている面を、いつも面に直角に押します。上が広い入れ物の斜めの壁は、水に押されると同時に、水を押し返して支えています。壁が支えた分だけ、水の重さは底に載りません。

上がすぼまった入れ物では、逆に、斜めの壁が水を下へ押し返します。だから、水が少なくても、底の圧力は筒と同じになります。

水の量と底の圧力が食い違って見えるので、この結果は「静水圧のパラドックス（逆説）」と呼ばれます。

給水塔の水は、30 m の深さで押す

街の高い所に立つ給水塔は、この性質を使っています。塔の上に水をためておくと、塔の下につながった管の中の水は、水面からの深さの分だけ圧力を持ちます。電気のポンプを回し続けなくても、家々へ水を送り出せます。

塔の水面が、管の出口より 30 m 高いとします。真水の密度 998.2 kg/m³ を使って、

$$\ssaP = 998.2 \times 9.807 \times 30 = 293.7\ \mathrm{kPa}$$

約 294 kPa（ゲージ圧）、約 0.29 MPa です。

日本の水道では、配水管から各家への管が分かれる所の圧力に決まりがあります。水を使っているときでも 150 kPa を下回らないこと、水を止めたときでも 740 kPa を超えないこと（水道施設の技術的基準を定める省令）。30 m の給水塔の 294 kPa は、この範囲に入ります。150 kPa は、真水の柱にすると約 15 m 分です。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\ssaP = \underbrace{\sryRho}_{\text{何の液体か}} \times \underbrace{\sryG}_{\text{重さにする}} \times \underbrace{\ssaH}_{\text{どれだけ深いか}}$$

1. 何の液体か $\sryRho$　1 m³ あたりの質量。海水は真水より 2.7% 重いので、同じ深さで圧力も 2.7% 大きくなります。
2. 重さにする $\sryG$　質量に重力加速度をかけると、重さ（力）になります。地球の上では、ほぼ一定です。
3. どれだけ深いか $\ssaH$　水面から真下へ測った深さ。水平に動いても変わりません。

式の中に、面積・入れ物の形・水の量が入っていないことが、いちばん大事なところです。

どの数字がいちばん効く？

海の水深 10 m を基準に、それぞれを変えたときの圧力の変化を並べます。

効くのは深さだけです。絶対圧で見ると、変化の割合は、大気圧の分だけ薄まります。

つまり、ものを作るときは

動かしてみよう

深さ $\ssaH$ のスライダーを動かすと、入れ物の底が下がり、右の2本の棒が伸び縮みします。赤い分（水の分）は、深さに比例します。絶対圧の棒の灰色（大気の分）は、どの深さでも同じです。

次に、入れ物の形を「上が広い」「上がすぼまる」に替えてみてください。水の量は変わっても、底の圧力の棒は動きません。

水の種類を真水にすると、同じ深さで、圧力が少しだけ小さくなります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1深さは 10 m・海水のまま、入れ物の形を「上が広い」にする。水の量と、底の圧力の棒を見比べる（まだ）
2. 2海水のまま、深さ h を2倍の 20 m にする。絶対圧の棒が、大気圧の目盛りをいくつ越えるか見る（まだ）
3. 3水の種類を真水にして、深さを 30 m にする（高さ 30 m の給水塔の、いちばん下）（まだ）

h水面からの深さ−m＋

ρ水の種類（密度）

海水（1025 kg/m³）真水（998 kg/m³）

形入れ物の形

筒上が広い上がすぼまる

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる水の圧力（ゲージ圧）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{p} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-geometry}{h}$$$$= 1{,}025 \times 9.807 \times 10$$$$= 100.5\ \mathrm{kPa}$$

水の圧力（ゲージ圧）

$\htmlClass{q-stress}{p} = 100.5\ \mathrm{kPa}$

深さ h の圧力（絶対圧）

$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{abs}}} = 201.8\ \mathrm{kPa}$

絶対圧は大気圧の何倍か

$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{abs}}/p_0} = 1.99\$

入れ物の水の量（筒を 1 として）

$\htmlClass{q-displacement}{V/V_{\text{筒}}} = 1\$

途中の計算（導出）を見る

1. 深さ h の水の圧力（ゲージ圧。上に載った水の重さ ÷ 底の面積）

   $$\htmlClass{q-stress}{p} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-geometry}{h} = 1{,}025 \times 9.807 \times 10 = 100.5\ \mathrm{kPa}$$

2. 絶対圧（大気圧の分を足す）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{abs}}} = \htmlClass{q-stress}{p_0} + \htmlClass{q-stress}{p} = 101.3 + 100.5 = 201.8\ \mathrm{kPa}$$

3. 絶対圧は、大気圧の何倍か

   $$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{abs}}/p_0} = \dfrac{201.8}{101.3} = 1.99$$

4. 入れ物の水の量（同じ底・同じ深さの筒を 1 として。上の幅が底の r 倍）

   $$\htmlClass{q-displacement}{V/V_{\text{筒}}} = \dfrac{1 + r + r^2}{3} = \dfrac{1 + 1 + 1^2}{3} = 1$$

よくある勘違い

「水がたくさんあるほど、圧力が大きい」

大きなダム湖の底と、細い管の底を比べても、深さが同じなら圧力は同じです。水の量が効くのは、水全体の重さのほうで、圧力ではありません。

「水の圧力は、下向きにだけかかる」

同じ深さの所では、圧力は上下・左右どの向きにも同じ大きさで働きます。水槽の側面に穴をあけると、水が横へ飛び出すのは、横向きにも押されているからです（ベルヌーイの定理）。

「ゲージ圧と絶対圧は、どちらで言っても同じ」

水深 10 m の圧力は、ゲージ圧で 100.5 kPa、絶対圧で 201.8 kPa。約 2倍も違います。タイヤの空気圧や水道の水圧はゲージ圧、気体の体積の計算に使うのは絶対圧です。数字には、どちらかを書き添えます。

プールの底に戻る

プールで 2 m 潜ると、耳にかかる水の圧力は、ゲージ圧で 19.6 kPa です。1 cm² の面に、約 200 g のおもりを載せたのと同じです。耳の奥の鼓膜は、外から水に押され、内側の空気の圧力がそれに追いつくまで、押される感じが続きます。

この公式が使える条件

• 水が止まっている（流れていない）
• 液体の密度が、深さによらず一定（水はほとんど押し縮められない）
• 測る2か所が、同じ液体で、途中で切れずにつながっている
• 重力加速度が一定（地上の、高さ数 km までの範囲）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

薄い層を積み重ねる：水の中に、断面 $\sryA$・厚さ $\Delta z$ の薄い水の層を考えます。層は止まっているので、上下から押す力と、層の重さが釣り合います。

$$\sryP(z + \Delta z)\,\sryA = \sryP(z)\,\sryA + \sryRho\,\sryA\,\Delta z\,\sryG$$

左辺は下の面を押し上げる力、右辺は上の面を押し下げる力と層の重さです（$z$ は下向きに測った深さ）。両辺を $\sryA\,\Delta z$ で割ると、$\sryA$ が消えて、

$$\dfrac{\sryP(z + \Delta z) - \sryP(z)}{\Delta z} = \sryRho\,\sryG$$

深さが $\Delta z$ 増えるごとに、圧力は $\sryRho\sryG\,\Delta z$ ずつ増えます。水面（ゲージ圧 0）から深さ $\ssaH$ まで積み重ねると、$\ssaP = \sryRho\,\sryG\,\ssaH$ です。

どの向きにも同じ：水の中に、斜めの面を持つ小さな三角柱を考えます。水は止まっていて、面にこすれる力（摩擦）は働かないので、どの面も、面に直角にだけ押されます。横向きと縦向きの力の釣り合いを書くと、三角柱を小さくした極限で、3つの面の圧力が等しくなります。面の傾きは何でもよいので、圧力は向きによりません。

形によらない：上の積み重ねは、どの縦の線の上でも同じです。だから同じ深さの点は、入れ物の形がどうであっても、同じ圧力になります。