科目: 材料力学
章: はりのたわみ
図番: 16 / 22
内容: シミュレータ・例題3問

材料力学　16 / 22

先を柱で支えるだけで、たわみは23分の1不静定ばり（一端固定・他端支持）

壁に固定して先端を柱で支えると、力のつり合いだけでは反力が決まらない。余分な支えを外して解く方法と、片持ちのたわみが約 1/23 になる理由。

シミュレータで試す
例題 3 問
導出つき

このページの内容

片持ちの棚の先を、柱で支える
シーソーの決まりだけでは、足りない
足りない1本を、重ね合わせで出す
結果
たわみの式を、3つのかたまりで読む
曲げモーメントの形
どの数字がいちばん効く？
柱を立てた棚に戻ると
動かしてみよう
よくある勘違い
この公式が使える条件
例題

この単元のポイント

片持ちの先に支えを1つ足すと、シーソーの決まり1・2だけでは、支える力が決まらない（不静定）。足りない1本は、「支えの位置で、はりは下がらない」というたわみの条件。
解き方は重ね合わせ。支えを外して下がった量を、支えの力で押し戻して 0 にする。
等分布荷重なら、支えが受けるのは荷重の 3/8、壁が 5/8。支えを1つ足すだけで、たわみは約 1/23 になる。

前の単元との違い片持ちばりの先に、支えを1つ足します。支える力が、つり合いだけでは決まらなくなります。

片持ちの棚の先を、柱で支える

壁に固定した棚板の先を、床から立てた柱で受けた収納。先端を柱で支えた手すり。片方の端は壁に固定され、もう片方の端は下から支えられています。

壁に固定して、先端を柱で支えた例。作業台の天板受け、柱で支えた手すり、突っ張り棒付きの棚 — **図 16-01**どれも、片方の端が壁に固定され、もう片方の端が下から支えられています。

こういうはりを、一端固定・他端支持のはりといいます。片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重）の片持ちばりの先に、支えを1つ足した形です。

左：壁に固定しただけの片持ちの棚。先端が大きく下がる。右：同じ棚の先端を柱で支えると、棚板のたわみはずっと小さくなる — **図 16-02**同じ棚、同じ荷重。支えを1つ足すだけで、たわみは大きく減ります。

この単元では、次の棚で考えます。鋼の角棒（幅 30 mm、高さ 60 mm）を、壁から 1,500 mm 突き出します。全体に、1 mm あたり 2 N（合計 3,000 N）の荷重がかかります。

柱が無ければ、ただの片持ちです。先端は 11.4 mm 下がります（片持ちばりのたわみ（等分布荷重）の式）。

先端に柱を立てると、どうなるでしょうか。柱と壁は、3,000 N をどれだけずつ受け持つのでしょうか。

予想してから読む棚の先に柱を立てると、柱が受け持つのは、全体の 3,000 N のうちどれだけ？

シーソーの決まりだけでは、足りない

せん断力図と曲げモーメント図で使った、シーソーの2つの決まりを当ててみます。

決まり1：上向きの力＝下向きの力
決まり2：力 × 距離が、逆向きどうしで同じ

分からない量は、3つあります。

柱が押し上げる力 $\sRprop$
壁が押し上げる力 $\sRwall$
壁が、棒の根元を回らないように押さえる力 × 距離。これを固定端モーメント $\sMwall$ といいます

決まり1から、1本の式が立ちます。

\sRprop + \sRwall = 3{,}000

決まり2は、壁を支点と見ます。荷重 3,000 N は、まとめると真ん中の 750 mm の位置にかかります。柱の力は、壁から 1,500 mm です。

\sMwall + \sRprop \times 1{,}500 = 3{,}000 \times 750 = 2{,}250{,}000

式は2本、分からない量は3つです。これでは決まりません。

試しに、数を入れてみます。

柱の力 $\sRprop$	壁の力 $\sRwall$	固定端モーメント $\sMwall$
0 N（柱が触れているだけ）	3,000 N	2,250,000 N·mm
1,500 N（半分ずつ）	1,500 N	0 N·mm

どちらの組も、決まり1と決まり2を満たします。決まりだけでは、組をいくらでも作れます。

このように、シーソーの決まりだけでは支える力が決まらないはりを、不静定なはりといいます。余分な支え（この棚では柱）が1つあるので、「1次不静定」です。

片持ちや、両端を支えただけのはりは、決まりだけで支える力が決まります。これを静定なはりといいます。これまでの単元は、すべて静定なはりでした。

足りない1本の式は、はりの変形から出します。「柱の位置では、はりは下がらない」という条件です。

足りない1本を、重ね合わせで出す

重ね合わせの原理の重ね合わせを使います。手順は4つです。

柱を、いったん外す。はりは片持ちになる
荷重だけで、先端がどれだけ下がるかを求める（片持ちばりのたわみ（等分布荷重）の式）
柱の力 $\sRprop$ だけで、先端がどれだけ上がるかを求める（片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重）の式。荷重の向きが上になるだけ）
2 と 3 を足すと、先端の下がりが 0 になるように、 $\sRprop$ を決める

左：柱を外した片持ちは先端が下がる。中：柱の反力だけが先端を上へ押すと、先端は上がる。右：2つを足すと、先端はちょうど元の高さに戻る — **図 16-03**下がった量と、押し上げた量が等しくなる力が、柱の受ける力です。

下がる量と、上がる量が等しい、という式を書きます。

\underbrace{\dfrac{\sw\,\sL^4}{8\,\sE\,\sI}}_{\text{荷重で下がる量}} = \underbrace{\dfrac{\sRprop\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}}_{\text{柱の力で上がる量}}

1段ずつ解きます。

両辺に $\sE\,\sI$ を掛けます。 $\sE\,\sI$ が両辺から消えます。

\dfrac{\sw\,\sL^4}{8} = \dfrac{\sRprop\,\sL^3}{3}

両辺を $\sL^3$ で割ります。

\dfrac{\sw\,\sL}{8} = \dfrac{\sRprop}{3}

両辺に 3 を掛けます。

\sRprop = \dfrac{3\,\sw\,\sL}{8}

$\sw\,\sL$ は、荷重の合計です。柱は、荷重の合計の 3/8 を受け持ちます。

材料の硬さ $\sE$ も、断面の形 $\sI$ も、途中で消えました。柱の受け持ちの割合は、棒の太さや材料によりません。

棚の数で確かめる

使う式に、棚の数を入れます。

\sRprop = \dfrac{3 \times 2 \times 1{,}500}{8} = 1{,}125\ \mathrm{N}

残りは、決まり1と決まり2で出ます。

\sRwall = 3{,}000 - 1{,}125 = 1{,}875\ \mathrm{N}

\sMwall = 2{,}250{,}000 - 1{,}125 \times 1{,}500 = 562{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}

柱が 3/8、壁が 5/8 です。壁は、柱の 5/3 倍を受け持ちます。

結果

等分布荷重と、真ん中に集中荷重がかかるときの結果です。集中荷重のときも、同じ手順で出せます。

	等分布荷重 $\sw$ （全長）	中央に集中荷重 $\sP$
柱（支え側）の力 $\sRprop$	$3\sw\sL/8$	$5\sP/16$
壁（固定端）の力 $\sRwall$	$5\sw\sL/8$	$11\sP/16$
固定端モーメント $\sMwall$	$\sw\sL^2/8$	$3\sP\sL/16$
スパンの中の最大曲げモーメント $\sMspan$	$9\sw\sL^2/128$ （柱から $3\sL/8$ の位置）	$5\sP\sL/32$ （荷重の位置）
最大たわみ $\sdeltaMax$	約 $\sw\sL^4/(185\,\sE\sI)$	$\sP\sL^3/(48\sqrt{5}\,\sE\sI)$ （約 $\sP\sL^3/(107\,\sE\sI)$ ）
最大たわみの位置（柱から）	$0.4215\sL$	$0.447\sL$

どちらの荷重でも、最大の曲げモーメントは固定端に出ます。最大の曲げ応力が出る場所も、壁のそばです。

棚の数（鋼 30×60 mm、 $\sE$ = 206 GPa、長さ 1,500 mm、2 N/mm）では、次のとおりです。

量	値
柱の力 $\sRprop$	1,125 N
壁の力 $\sRwall$	1,875 N
固定端モーメント $\sMwall$	562,500 N·mm
スパンの中の最大曲げモーメント $\sMspan$	316,406 N·mm
固定端の最大曲げ応力（ $\sZ$ = 18,000 mm³）	31.3 MPa
最大たわみ（柱から 632 mm の位置）	0.49 mm

たわみの式を、3つのかたまりで読む

等分布荷重の最大たわみは、荷重の合計 $\sW = \sw\,\sL$ を使うと、こう書けます。

\sdeltaMax \approx \underbrace{\sW\,\sL^3}_{\text{荷重と長さ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sE\,\sI}}_{\text{曲がりやすさ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{185}}_{\text{支え方で決まる係数}}

荷重と長さ $\sW\,\sL^3$ 　重いほど、長いほど、たわみます。長さは3乗で効きます。
曲がりやすさ $1/\sE\,\sI$ 　材料の硬さ $\sE$ と断面の形 $\sI$ が大きいほど、たわみません。ほかの単元と同じです。
支え方で決まる係数 1/185　同じ棒・同じ荷重の合計でも、支え方を変えると、この係数だけが変わります。

1/185 は、きりのよい分数ではありません。いちばん下がる位置（柱から 0.4215 $\sL$ ）が、根号の入った数になるからです（くわしくは下の導き方）。

支え方ごとの係数を並べると、支え方の効き目が見えます。

支え方	係数（ $\sdeltaMax = \sW\,\sL^3/\sE\sI$ に掛ける）	棚の棒（1,500 mm・2 N/mm）の最大たわみ
片持ち	1/8	11.4 mm
単純支持（両端を支える）	5/384（約 1/77）	1.19 mm
一端固定・他端支持	約 1/185	0.49 mm
両端固定（くわしくは両端固定ばりの単元）	1/384	0.24 mm

同じ棒に同じ荷重をかけた4本のはり。片持ちは大きく下がり、単純支持、一端固定・他端支持、両端固定の順に、下がりは小さくなる — **図 16-04**下がりの大きさは、片持ち、単純支持、一端固定・他端支持、両端固定の順に小さくなります。

片持ちに柱を1本足すと、たわみは約 23倍小さくなります（185 ÷ 8）。

両端を支えただけの単純支持と比べても、根元を壁で固定したぶん、約 2.4倍小さくなります。両端を固定すれば、さらに約 2.1倍小さくなります。

支えが増えるほど、はりは動きにくくなります。係数が小さくなるのは、そのためです。

曲げモーメントの形

曲げモーメントは、片持ちのように根元だけで大きいのでも、単純支持のように真ん中で最大なのでもありません。

等分布荷重では、次のようになります。

固定端で最大。大きさは $\sw\sL^2/8$ で、はりを上に凸に曲げる向き
固定端から $\sL/4$ の位置で 0。ここで、曲がる向きが逆になる
柱から $3\sL/8$ の位置で、逆向きの最大 $9\sw\sL^2/128$ （固定端の 0.56 倍）
柱の上で 0

曲がる向きが変わる点を、反曲点といいます。固定端の近くは「上に凸」、スパンの中は「下に凸」に曲がっています。

固定端のモーメントは、柱の無い片持ちの根元（ $\sw\sL^2/2$ ）の 1/4 です。柱の力 1,125 N が、壁から 1,500 mm の位置で、根元を逆向きに回すからです。

どの数字がいちばん効く？

1割ずつ変えたときの効き方は、片持ちばりのたわみ（等分布荷重）の表と同じです（等分布荷重で、長さ +46%、高さ −25%、荷重・硬さは ±9〜10%）。支えを1つ足して変わるのは、上の表の係数（1/8 → 約 1/185）だけです。どの数字がどれだけ効くかは、変わりません。

柱を立てた棚に戻ると

最初の問いに答えます。鋼の角棒の棚（1,500 mm、全体に 3,000 N）の先に、柱を立てたときです。

柱は 1,125 N（3/8）、壁は 1,875 N（5/8）を受け持ちます。半分ずつではありません。
先端の下がりは、片持ちの 11.4 mm から、いちばん下がる所でも 0.49 mm になります。約 1/23 です。
根元の曲げモーメントは、片持ちの 1/4 になります。

つまり、ものを作るときは

先端が下がって困る片持ちには、先端に支えを1つ足すのが、たわみを減らす安い手です。同じ約 1/23 を断面の高さだけで得ようとすると、高さを約 2.8倍にしなければなりません。

ただし、支えが受ける力（3/8）と、壁の根元の曲げモーメントの両方を、設計の数字で確かめます。

手すり、棚、足場の張り出し、配管の受け金具など、「根元を壁に固定して、先を柱で受ける」形は、身のまわりにたくさんあります。

動かしてみよう

荷重の種類（全体に等分布／中央に集中荷重）を選んで、長さ $\sL$ と高さ $\sh$ を動かしてみてください。

柱の力 $\sRprop$ が、荷重の合計の何割かを見てください（等分布なら 3/8、中央に集中なら 5/16）。荷重・長さ・材料を変えても、この割合は変わりません。
図の破線が、柱を外した片持ちの曲線です。同じ倍率で描いてあるので、柱1本の効き目が、そのまま見えます。結果の欄の「柱を外すと、何倍下がるか」が、その比です。

図の上半分は、はりのたわみ曲線と、2つの支える力、固定端モーメントです。下半分は曲げモーメントの図です。軸より下の部分（固定端のそば）が、はりを上に凸に曲げる向きです。

結果の欄には、同じ荷重で、片持ち・単純支持・両端固定にしたときのたわみも出ます。支え方で、たわみがどれだけ変わるか比べてください。

たわみは実際にはとても小さいので、図では拡大して描いています。図の下の「たわみの描き方」で、描き方を切り替えられます。「倍率を固定」では、数字を変えたときの変化が、そのまま図に出ます。「実寸」では、拡大しない本当の大きさになります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります

試してみよう0 / 3

荷重 w を2倍の 4 N/mm にして、柱の力 R支えを見る（まだ）
長さ L を2倍の 3,000 mm にして、片持ちにしたときのたわみ δ片持ちと比べる（まだ）
長さを戻して、高さ h を約2.8倍の 170 mm にし、δ片持ちを見る（まだ）

w等分布荷重（長さ1 mm あたり）N/mm

Lはりの長さmm

E縦弾性係数（ヤング率）GPa

b断面の幅mm

h断面の高さmm

初期値の図を薄く重ねる最大たわみは、初期値の ×1

たわみの描き方いまの倍率　×53

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×53 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} \approx \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{185\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}

= \dfrac{2 \times 1{,}500^4}{185 \times 206{,}000 \times 540{,}000}

= 0.493\ \mathrm{mm}\ \text{（位置 }632.3\ \mathrm{mm}\text{）}

最大たわみ: $\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = 0.493\ \mathrm{mm}$
同じ荷重で片持ちにしたとき: $\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{片持ち}}} = 11.38\ \mathrm{mm}$
柱を外すと、何倍下がるか: $\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{片持ち}}/\delta} = 23.1\$
支え側の反力: $\htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = 1{,}125\ \mathrm{N}$
固定端の反力: $\htmlClass{q-force}{R_{\text{固定}}} = 1{,}875\ \mathrm{N}$
固定端モーメント: $\htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}} = 562{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}$

ほかの値（7 個）

断面二次モーメント: $\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$
スパンの中の最大曲げモーメント: $\htmlClass{q-moment}{M_{\text{中}}} = 316{,}400\ \mathrm{N\cdot mm}$
最大たわみの位置（支えから）: $\htmlClass{q-geometry}{x_m} = 632.3\ \mathrm{mm}$
断面係数: $\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$
最大曲げ応力: $\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 31.25\ \mathrm{MPa}$
同じ荷重で単純支持にしたとき: $\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}} = 1.185\ \mathrm{mm}$
同じ荷重で両端固定にしたとき: $\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{両固定}}} = 0.237\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

断面二次モーメント（長方形断面）
$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$
支えを外した片持ちの、先端の下がり
$\dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{8\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{2 \times 1{,}500^4}{8 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 11.38\ \mathrm{mm}$
支えが先端を押し戻して、下がりを 0 にする力（支え側の反力）
$\dfrac{\htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{8\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} \ \Rightarrow\ \htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = \dfrac{3\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{8} = \dfrac{3 \times 2 \times 1{,}500}{8} = 1{,}125\ \mathrm{N}$
固定端の反力と、固定端モーメント
$\htmlClass{q-force}{R_{\text{固定}}} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} - \htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{8},\quad \htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{8} = 1{,}875\ \mathrm{N},\quad \dfrac{2 \times 1{,}500^2}{8} = 562{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}$
最大たわみ（支えから 0.4215L の位置）
$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} \approx \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{185\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{2 \times 1{,}500^4}{185 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 0.493\ \mathrm{mm}\ \text{（位置 }632.3\ \mathrm{mm}\text{）}$
最大曲げ応力（固定端の上下の面）
$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{562{,}500}{18{,}000} = 31.25\ \mathrm{MPa}$

よくある勘違い

「柱の側と壁の側で、荷重は半分ずつ」

~~柱 1/2、壁 1/2~~　→　等分布荷重なら、柱 3/8、壁 5/8 です。

半分ずつの組も、シーソーの決まり1・2は満たします。でも、そのときは固定端モーメントが 0 で、根元が回れることになります。壁は根元を回らないように押さえているので、たわみの条件を足すと、壁の受け持ちが大きくなります。

中央に集中荷重なら、柱が 5/16（31%）、壁が 11/16（69%）です。両端を支えただけの単純支持なら、半分ずつ（50%）です。

「支えを足せば、柱はいつも決まった力を受ける」

柱の力は、柱が沈まないことを前提にしています。柱や床が荷重で少し沈むと、柱の受け持ちは減ります。

左：柱が棚板の先をしっかり支えていて、板はほぼ水平。中：柱が少し沈み、板の先も柱に載ったまま一緒に下がる。右：柱がさらに沈んで板から離れ、板は根元が水平で先がいちばん低い片持ちの形になり、柱の頭との間に小さなすき間ができる — **図 16-05**柱が沈むと、柱の受け持ちが減り、壁の受け持ちが増えます。沈みが大きいと、柱は棒から離れてしまいます。

重ね合わせの式で、先端の下がりを 0 でなく「柱の沈み」とおけば、出せます。棚の棒では、柱が 1 mm 沈むと、柱の力は約 99 N（1,125 N の約 9%）減ります。そのぶん、壁の力と固定端モーメントが増えます。

沈みが、柱が無いときの先端の下がり（11.4 mm）に届くと、柱の力は 0 になります。すき間ができて、ただの片持ちに戻ります。

不静定なはりでは、支えの硬さや沈み方が、力の配分に効きます。静定なはりでは、支えが少し沈んでも、支える力は変わりません。

この公式が使える条件

たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
壁は、はりの根元を完全に固定し、回らない・沈まない
柱（支え）は、はりと同じ高さにあって、沈まない
はりの重さは、等分布荷重として入れる。太さは根元から先まで同じ

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

本文の重ね合わせとは別に、たわみの式を直接積分しても、同じ答えが出ます。出発点は、曲がり具合と曲げモーメントの関係 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ です（出どころは曲げ応力の式とたわみの微分方程式と積分法）。

固定端を $\sx = 0$ 、柱を $\sx = \sL$ とし、柱の力を $\sR$ （上向き）とします。切り口の柱の側を見ると、決まり2から、位置 $\sx$ の曲げモーメントは次のとおりです。

\sM(\sx) = \sR\,(\sL - \sx) - \dfrac{\sw\,(\sL - \sx)^2}{2}

2回積分します。

\sE\,\sI\,\sv' = \dfrac{\sR\,(\sL - \sx)^2}{2} - \dfrac{\sw\,(\sL - \sx)^3}{6} + C_1

\sE\,\sI\,\sv = -\dfrac{\sR\,(\sL - \sx)^3}{6} + \dfrac{\sw\,(\sL - \sx)^4}{24} + C_1\,\sx + C_2

条件は3つです。固定端でたわみが 0（ $\sv(0) = 0$ ）、傾きが 0（ $\sv'(0) = 0$ ）、柱の位置でたわみが 0（ $\sv(\sL) = 0$ ）。

前の2つから、 $C_1 = -\sR\sL^2/2 + \sw\sL^3/6$ 、 $C_2 = \sR\sL^3/6 - \sw\sL^4/24$ が出ます。3つ目に入れると、

-\dfrac{\sR\,\sL^3}{3} + \dfrac{\sw\,\sL^4}{8} = 0 \quad\Rightarrow\quad \sR = \dfrac{3\,\sw\,\sL}{8}

です。本文で重ね合わせから出した式と同じです。シーソーの決まりで足りなかった1本を、柱の位置の条件 $\sv(\sL) = 0$ が補っています。

壁の力は $\sw\sL - \sR = 5\sw\sL/8$ 、固定端モーメントは $\sM(0) = \sR\sL - \sw\sL^2/2 = -\sw\sL^2/8$ （符号が負＝上に凸）です。

いちばん下がる位置は、傾き $\sv' = 0$ から出ます。 $\sR$ を入れて、柱からの距離 $u = \sL - \sx$ で書くと、

\sE\,\sI\,\sv' = \dfrac{\sw}{48}\,(u - \sL)(-8u^2 + \sL\,u + \sL^2)

です。 $u = \sL$ は固定端（傾き 0 の条件そのもの）なので、 $-8u^2 + \sL u + \sL^2 = 0$ を解きます。 $u = \sL(1 + \sqrt{33})/16 \approx 0.4215\,\sL$ （柱から）です。

この位置のたわみは、約 $0.005416\,\sw\sL^4/(\sE\sI)$ 、つまり $\sw\sL^4/(184.6\,\sE\sI)$ です。本文では丸めて 185 と書きました。

中央に集中荷重 $\sP$ のときも、本文と同じ重ね合わせで出せます。片持ちの先端の下がりは、真ん中の荷重で $5\sP\sL^3/(48\,\sE\sI)$ です（ $\sP\,\sa^2(3\sL - \sa)/(6\,\sE\,\sI)$ に $\sa = \sL/2$ を入れる）。これを $\sR\,\sL^3/(3\,\sE\sI)$ と等しくおくと、 $\sR = 5\sP/16$ です。

例題

例題1　作業台の天板を支える角棒

壁から 1,200 mm 張り出した鋼の角棒に、作業台の天板が載っています。角棒の根元は壁に固定され、先端は柱で下から支えられています。

天板と荷物の重さは、全体で 1,500 N（長さ 1 mm あたり 1.25 N）で、角棒の全長に均等にかかります。角棒の断面は幅 25 mm・高さ 50 mm（高さの向きが上下）、鋼の縦弾性係数は 206 GPa です。棒の重さは考えません。

(1) 柱が受ける力はいくらですか。(2) 壁の固定端で、棒の上の面に生じる曲げ応力はいくらですか。(3) 棒のたわみは、最大でいくらですか。

ヒント 1 / 2

結果の表（等分布荷重）を使います。柱の力は $\sRprop = 3\sw\sL/8$ 、固定端のモーメントは $\sw\sL^2/8$ 、最大たわみは約 $\sw\sL^4/(185\,\sE\sI)$ です。

ヒント 2 / 2

断面二次モーメントは $\sI = 25 \times 50^3/12$ mm⁴、断面係数は $\sZ = 25 \times 50^2/6$ mm³ です。

答えと解き方を見る

(1)\ \sRprop = \dfrac{3\,\sw\,\sL}{8} = 562.5\ \mathrm{N}

(2)\ \ssigma = \dfrac{\sMwall}{\sZ} = 21.6\ \mathrm{MPa}

(3)\ \sdeltaMax = 0.262\ \mathrm{mm}

断面二次モーメント（長方形断面）
$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{25 \times 50^3}{12} = 260{,}417\ \mathrm{mm^4}$
支えを外した片持ちの、先端の下がり
$\dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{8\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{1.25 \times 1{,}200^4}{8 \times 206{,}000 \times 260{,}417} = 6.04\ \mathrm{mm}$
支えが先端を押し戻して、下がりを 0 にする力（支え側の反力）
$\dfrac{\htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{8\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} \ \Rightarrow\ \htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = \dfrac{3\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{8} = \dfrac{3 \times 1.25 \times 1{,}200}{8} = 562.5\ \mathrm{N}$
固定端の反力と、固定端モーメント
$\htmlClass{q-force}{R_{\text{固定}}} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} - \htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{8},\quad \htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{8} = 937.5\ \mathrm{N},\quad \dfrac{1.25 \times 1{,}200^2}{8} = 225{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$
最大たわみ（支えから 0.4215L の位置）
$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} \approx \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{185\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{1.25 \times 1{,}200^4}{185 \times 206{,}000 \times 260{,}417} = 0.2617\ \mathrm{mm}\ \text{（位置 }505.8\ \mathrm{mm}\text{）}$
最大曲げ応力（固定端の上下の面）
$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{225{,}000}{10{,}420} = 21.6\ \mathrm{MPa}$

柱は、荷重の全体（1,500 N）の 3/8（37.5%）を受けます。残りの 5/8 は壁が受けます。

壁の固定端では、棒の上の面が引っ張られ、下の面が押し縮められます。スパンの中の曲げモーメント（最大 126,563 N·mm）より、固定端のモーメント（225,000 N·mm）のほうが大きいので、いちばん応力が高いのは壁のそばです。

例題2　柱を取り外したら

例題1の角棒から、先端の柱を取り外します。棒は壁に固定された片持ちばりになり、荷重は変わらず全長にかかります。

最大のたわみは、柱があったときの何倍になりますか。また、壁の固定端のモーメントは何倍になりますか。

ヒント 1 / 2

柱が無ければ片持ちです。先端のたわみ $\sw\sL^4/(8\,\sE\sI)$ と根元のモーメント $\sw\sL^2/2$ を、柱があるときの値で割ります。

ヒント 2 / 2

割り算すると $\sw$ ・ $\sL$ ・ $\sE\sI$ は消え、係数どうしの比だけが残ります。

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\dfrac{6.04\ \mathrm{mm}}{0.262\ \mathrm{mm}} = 23.1\ \text{倍}

\dfrac{\sw\,\sL^2/2}{\sw\,\sL^2/8} = 4\ \text{倍}

片持ちの先端のたわみは wL⁴/(8EI)、柱があるときの最大たわみは約 wL⁴/(185EI) なので、185 ÷ 8 で約 23 倍です。

片持ちの固定端のモーメントは wL²/2、柱があるときは wL²/8 で、4倍です。柱を1本足すだけで、たわみは 23 分の 1、根元の曲げモーメントは 4 分の 1 になります。

例題3　突っ張り棒付きの棚

壁に固定した木の棚板（長さ 900 mm、幅 250 mm、厚さ 24 mm、縦弾性係数 10 GPa）の先端を、床から立てた突っ張り棒で支えています。

棚板の真ん中に、植木鉢（重さ 200 N、約 20 kg）を置きました。棚板の重さは考えません。

(1) 突っ張り棒が受ける力は、植木鉢の重さの何 % ですか。(2) 棚板の最大のたわみはいくらですか。(3) 突っ張り棒がなかったら、たわみは何倍になりますか。

ヒント 1 / 2

結果の表（中央に集中荷重）を使います。柱の力は $5\sP/16$ 、最大たわみは $\sP\sL^3/(48\sqrt{5}\,\sE\sI)$ です。

ヒント 2 / 2

棚板の断面は幅 250 mm・厚さ 24 mm なので、 $\sI = 250 \times 24^3/12$ mm⁴ です。

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(1)\ \sRprop = \dfrac{5\,\sP}{16} = 62.5\ \mathrm{N}\quad(31.25\%)

(2)\ \sdeltaMax = 0.472\ \mathrm{mm}

(3)\ \dfrac{5.27\ \mathrm{mm}}{0.472\ \mathrm{mm}} = 11.2\ \text{倍}

断面二次モーメント（長方形断面）
$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{250 \times 24^3}{12} = 288{,}000\ \mathrm{mm^4}$
支えを外した片持ちの、先端の下がり（荷重は中央）
$\dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5 \times 200 \times 900^3}{48 \times 10{,}000 \times 288{,}000} = 5.273\ \mathrm{mm}$
支えが先端を押し戻して、下がりを 0 にする力（支え側の反力）
$\dfrac{\htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} \ \Rightarrow\ \htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{P}}{16} = \dfrac{5 \times 200}{16} = 62.5\ \mathrm{N}$
固定端の反力と、固定端モーメント
$\htmlClass{q-force}{R_{\text{固定}}} = \htmlClass{q-force}{P} - \htmlClass{q-force}{R_{\text{支え}}} = \dfrac{11\,\htmlClass{q-force}{P}}{16},\quad \htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}} = \dfrac{3\,\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{16} = 137.5\ \mathrm{N},\quad \dfrac{3 \times 200 \times 900}{16} = 33{,}750\ \mathrm{N\cdot mm}$
最大たわみ（支えから 0.447L の位置）
$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\sqrt{5}\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{200 \times 900^3}{48\sqrt{5} \times 10{,}000 \times 288{,}000} = 0.4717\ \mathrm{mm}\ \text{（位置 }402.5\ \mathrm{mm}\text{）}$
最大曲げ応力（固定端の上下の面）
$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{固定}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{33{,}750}{24{,}000} = 1.406\ \mathrm{MPa}$

棚板の両端を支えた（単純支持の）場合は、支えが半分（50%）を受けます。壁で根元を固定されている分、突っ張り棒が受けるのは 31.25% に減ります。

突っ張り棒がない棚は、片持ちばりです。荷重が中央にあるときの先端のたわみは 5PL³/(48EI)、突っ張り棒があるときの最大たわみは PL³/(48√5 EI) で、比は 5√5 ≒ 11.2 倍です。

片持ちの棚の先を、柱で支える

シーソーの決まりだけでは、足りない

足りない1本を、重ね合わせで出す

棚の数で確かめる

結果

たわみの式を、3つのかたまりで読む

曲げモーメントの形

どの数字がいちばん効く？

柱を立てた棚に戻ると

動かしてみよう

よくある勘違い

「柱の側と壁の側で、荷重は半分ずつ」

「支えを足せば、柱はいつも決まった力を受ける」

この公式が使える条件

例題

例題1 作業台の天板を支える角棒

例題2 柱を取り外したら

例題3 突っ張り棒付きの棚

つながる単元

例題1　作業台の天板を支える角棒

例題2　柱を取り外したら

例題3　突っ張り棒付きの棚